กฎข้อ 1 ของเทอร์โมไดนามิกส์

โดย ทีปานิส ชาชิโย

เมื่อทำการวิเคราะห์พฤติกรรมหรือทำนายสมบัติของระบบ อาทิเช่น แก็สที่อยู่ภายในลูกสูบเครื่องยนต์ น้ำที่อยู่ภายในแก้ว หรือแท่งโลหะสักชิ้น พลังงานของระบบ ถือเป็นตัวแปรสำคัญในการกำหนดสภาวะและคุณสมบัติของมัน ดังนั้นในบทนี้เราจะได้ศึกษาธรรมชาติของพลังงานภายในของระบบ ว่ามันสามารถมีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงด้วยกระบวนการใดบ้าง

พิจารณาระบบของแก็ส ที่ประกอบด้วย 100 อนุภาคบรรจุอยู่ภายใน ซึ่งในความเป็นจริงข้อสรุปของการวิเคราะห์ในครั้งนี้ ใช้ได้โดยทั่วไปกับวัสดุหรือระบบทุกรูปแบบ แต่การยกตัวอย่างของแก็สในภาชนะ จะทำให้สามารถมองเป็นระบบได้เป็นรูปธรรมที่ชัดเจนมากขึ้น จากภาพจะเห็นว่าระบบมีพลังงานภายในอยู่น้อยมาก สังเกตได้จากการเคลื่อนที่ของแต่ละอนุภาคที่มีความเร็วค่อนข้างน้อย ประเด็นคำถามในที่นี้ก็คือ "เราจะเพิ่มพลังงานภายในของระบบ ด้วยกระบวนการใดได้บ้าง ?"

กระบวนการแรกที่เราคุ้นเคย ก็คือให้ความร้อนกับมัน ดังจะเห็นได้จากภาพที่เราเริ่มจุดไฟด้านล่าง ทำให้พลังงานในรูปของความร้อนไหลเข้าไปในระบบ ส่งผลให้พลังงานภายใน มีค่าเพิ่มขึ้น ซึ่งสามารถเขียนในรูปของสมการได้ว่า

$dU = dQ$

นั่นหมายถึง พลังงานภายในของระบบ ที่เพิ่มขึ้น ก็มีค่าเท่ากับความร้อน $dQ$ ที่ไหลเข้าไปในระบบ จะสังเกตเห็นได้ว่า อนุภาคที่อยู่ในภาชนะ มีการเคลื่อนที่อย่างรวดเร็ว หรืออีกนัยหนึ่ง มันมีพลังงานจลน์เพิ่มขึ้น ซึ่งก็มาจากความร้อนที่ป้อนเข้าไปนั่นเอง

กระบวนการที่สอง ซึ่งสามารถเพิ่มพลังงานภายในให้กับระบบ ก็คือการ "ทำงานกับมัน" เมื่อพูดถึงงานที่ทำกับระบบ อาจจะดูเป็นนามธรรมที่เข้าใจยากอยู่บ้าง แต่ถ้าสังเกตตัวอย่างในภาพ ก็คือการที่เราออกแรงผลัก ผนังของของภาชนะ หรือผลักลูกสูบให้มีขนาดเล็กลง เมื่อออกแรงผลัก $F$ และออกแรงเป็นระยะทาง $dx$ ในทางฟิสิกส์ ก็คือการที่ตัวหุ่นยนต์ กำลังทำงาน $dW=F dx$ และงานอันนี้เอง ก็จะถ่ายเทเป็นพลังงานเข้าสู่ระบบ ทำให้อนุภาคในภาชนะ มีการเคลื่อนที่เร็วขึ้นดังแสดงในภาพ การที่เราเพิ่มพลังงานภายในระบบ จาก "งาน" ที่สิ่งแวดล้อมกระทำกับมัน สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของสมการได้ว่า

$dU = dW$

ระบบในกรณีทั่วไปนั้น กระบวนการถ่ายเทพลังงานเข้าสู่ระบบ จะเกิดขึ้นได้จาก 2 ปัจจัยนี้เท่านั้น ก็คือความร้อนที่ถ่ายเทเข้าไป และงานที่เราทำกับมัน นี้เองคือกฎข้อที่ 1 ของ Thermodynamics ซึ่งเขียนให้กระชับอยู่ในรูปของสมการก็คือ

กฎข้อ 1 ของ Thermodynamics: $dU = dQ + dW$ หรือ

"พลังงานภายในของระบบ จะเพิ่มขึ้น เมื่อ 1) ความร้อนจากภายนอกไหลเข้าสู่มัน และ 2) มี งานที่กระทำกับระบบ"

ยกตัวอย่างเช่น ระบบที่เรากำลังพิจารณาก็คือกาแฟสักแก้ว ครั้นเมื่อเติมน้ำพอสมควร น้ำตาล และผงเนยเทียมผงกาแฟหอมกรุ่นแล้ว ปรากฏว่าคุณสังเกตเห็นมันยังไม่ละลาย เราต้องการเพิ่มพลังงานภายในให้กับระบบ ด้วยหวังว่ามันจะละลายเข้ากันได้ดีขึ้น ซึ่งสามารถทำได้สองวิธี คือ 1) นำไปต้มอีกครั้งบนเตา นี้เองคือการเพิ่มพลังงานด้วยกระบวนการของ $dQ$ ซึ่งหากยังไม่เพียงพอ 2) เราก็สามารถออกแรงคนด้วยช้อน อันเป็นการ "ทำงาน" กับระบบ นี้เองคือการเพิ่มพลังงานด้วยกระบวนการของ $dW$

หมายเหตุ: หนังสือเรียนฟิสิกส์ในอดีต นิยามงาน $dW$ ว่าเป็นงานที่ "ระบบทำ" ซึ่งตรงกันข้ามในกรณีของเรา ที่เป็นงานซึ่ง "กระทำกับระบบ" ด้วยเหตุนี้ กฎข้อ 1 ของ Thermodynamics จึงเขียนอยู่ในรูป $dU = dQ - dW$ นี้เป็นเพียงความแตกต่างในเชิงคำนิยาม อันทำให้เครื่องหมายสลับกันจากบวกเป็นลบ อย่างไรก็ตาม แบบเรียนฟิสิกส์ในปัจจุบัน อาทิเช่น Serway, "College Physics" 9th Edition (และที่ใช้ในวิชาเคมีมาโดยตลอด) เริ่มมีการปรับมาใช้คำนิยามของ $dW$ ตรงกันกับที่เราใช้อยู่นี้

---

ตัวอย่างโจทย์

แก็สที่เรียกว่า mono-atomic ideal gas ปริมาณ 0.1 โมล โดนขังอยู่ในลูกสูบที่เคลือบด้วยฉนวนความร้อน มีแรงลัพธ์ (รวมทั้งจากความดันบรรยากาศ) กดลิ้นลูกสูบด้วยแรง 200 N อย่างต่อเนื่อง เมื่อกดเข้าไปได้เป็นระยะทาง 10 cm อุณหภูมิของแก็สจะเพิ่มขึ้นเท่าใด ?

วิธีทำ จากในบทที่หนึ่ง ระบบของแก็สในอุดมคติซึ่งโมเลกุลประกอบด้วยอะตอมเพียงอันเดียว หรือที่เรียกว่า mono-atomic ideal gas นั้น อุณหภูมิของมันแปรผันตรงกับพลังงานภายในของระบบ กล่าวคือ

$U = \frac{3}{2}Nk_B T$ หรือ $dU = \frac{3}{2}Nk_B dT$

--------- (E.1)

เพราะฉะนั้นหากเราสามารถคำนวณหาพลังงาน $dU$ ที่เพิ่มขึ้นจากการออกแรงกดลิ้นลูกสูบ โดยอาศัยกฎข้อ 1 ของ Thermodynamics เราก็สามารถคำนวณหาอุณหภูมิที่เพิ่มขึ้น ดังที่โจทย์ต้องการทราบ

จากกฎข้อ 1 ของ Thermodynamics

$dU = dQ + dW$

โจทย์กำหนดให้ ภาชนะมีฉนวนความร้อนเคลือบอยู่ นั่นหมายความว่า ในกรณีนี้ความร้อนไม่สามารถไหลเข้าหรือออกจากระบบได้ กล่าวคือ $dQ=0$ ทำให้ในโจทย์ข้อนี้ $dU=dW$

เราสามารถคำนวณงาน $dW$ ที่สิ่งแวดล้อมกระทำแก็สได้ นั่นคือแรง $F = 200N$ และระยะทาง $d = 10\,cm = 0.1\,m$ ทำให้งานที่กระทำกับระบบก็คือ $dW = Fd = 200 \times 0.1 = 20\,J$ และงาน 20 จูลนี้เองเข้าไปทำให้พลังงานภายในของแก็สเพิ่มขึ้น $dU = 20\,J$

ย้อนกลับไปที่สมการ (E.1) $dU = \frac{3}{2}Nk_B dT$ ซึ่ง $N$ คือจำนวนโมเลกุลภายในภาชนะ ซึ่งโจทย์บอกว่ามีค่าเท่ากับ 0.1 โมล ดังนั้น $N = 0.1\,N_A$ เมื่อ $N_A$ คือ Avogadro Number ซึ่งมีค่าเท่ากับ $6.02 \times 10^{23}$ เพราะฉะนั้น

$dU = \frac{3}{2} \times 0.1 \times N_A k_B \,dT$

เทอม $N_A k_B$ นั้นก็คือ ค่าคงที่ซึ่งเรียกว่า Gas Constant $N_A k_B \equiv R = 8.31\,J/K \cdot mol$ ผนวกกับ $dU = 20\,J$ ดังนั้น

$\begin{array}{c} 20 = \frac{3}{2} \times 0.1 \times \left( {8.31} \right)\,dT \\ 16\,K = dT \\ \end{array}$ กล่าวคือ อุณหภูมิเพิ่มขึ้น 16 องศาเคลวิน ตอบ

---

ในการวิเคราะห์พลังงานภายใน $dU$ ที่เพิ่มขึ้น อันเป็นผลมาจากความร้อนและงาน นั้นจำเป็นต้องมีความรอบคอบเมื่อพิจารณาเครื่องหมายของ $dQ$ และ $dW$

ในกรณีของ $dQ$ นิยามเป็นความร้อนที่ไหลเข้าสู่ระบบ กล่าวคือหาก $dQ$ มีค่าเป็นบวก นั้นแสดงว่าอุณหภูมิของสิ่งแวดล้อมนั้นมีค่าสูงกว่าระบบ ทำให้ความร้อนมีการไหลเข้าไปภายใน อาทิเช่นการเปิดเตาแก็สเพื่อต้มน้ำ อุณหภูมิของเปลวไฟที่สูงมากส่งผลให้ความร้อนไหลเข้าสู่กาต้มน้ำ แต่หาก $dQ$ มีค่าติดลบ นี้หมายถึงความร้อนกำลังถูกทำให้รั่วไหลออกจากตัวระบบ เข้าสู่สิ่งแวดล้อม อาทิเช่นขณะคุณกำลังอาบน้ำ อุณหภูมิของร่ายกายที่สูงกว่า ส่งผลให้ความร้อนไหลออกไปสู่น้ำเย็นที่อยู่โดยรอบ

ในกรณีของ $dW$ โดยนิยามแล้ว คืองานที่ "สิ่งแวดล้อม" กระทำกับระบบ อาทิระบบคือแก็สที่อยู่ในภาชนะ เรา (ในฐานะสิ่งแวดล้อม) ออกแรงบีบแก็สให้มีปริมาตรเล็กลง นี้เรียกว่างานมีค่าเป็นบวก และงานที่สิ่งแวดล้อมกระทำนี้ มีผลให้พลังงานภายในของระบบเพิ่มขึ้น แต่ในหลายกรณี $dW$ มีค่าติดลบซึ่งเราจะได้เห็นในตัวอย่างโจทย์ต่อไปนี้

---

ตัวอย่างโจทย์

Mono-atomic ideal gas ปริมาณ 0.2 โมล ณ ความดันบรรยากาศ อยู่ในภาชนะทรงกระบอก (พื้นที่หน้าตัด A = 10 ตารางเซนติเมตร) ใน 2 ลักษณะ คือ a) ปิดสนิท และ b) มีลิ้นลูกสูบให้ขยาย ออกอีกได้ 10 cm ดังแสดงในภาพ เมื่อให้ความร้อนเข้าไปช้าๆ รวมทั้งสิ้น 20 จูล อุณหภูมิของแก็สในภาชนะทั้ง 2 กรณี จะเพิ่มขึ้นเท่าๆกันหรือไม่ เพิ่มขึ้นเท่าใด ?

วิธีทำ

อีกเช่นเคย เราเริ่มจากความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานภายในของแก็สกับอุณหภูมิของมัน นั่นคือ

$U = \frac{3}{2}Nk_B T = \frac{3}{2}n\underbrace {N_A k_B }_{ \equiv R}T = \frac{3}{2}nRT$ หรือ $dU = \frac{3}{2}nRdT$

--------- (E.1)

ในสมการข้างต้น เพื่อความสะดวกเราเขียนจำนวนของอนุภาคในภาชนะ ให้อยู่ในรูปจำนวนโมล $N = nN_A$ ทั้งนี้เพราะข้อมูลที่โจทย์กำหนดให้ก็คือ $n = 0.2\,{\text{mol}}$

เนื่องจากในทั้งสองกรณี a ) และ b) มีลักษณะของภาชนะที่แก็สบรรจุอยู่แตกต่างกัน แม้ว่าให้ความร้อนเข้าไป 20 J เท่ากัน จะส่งผลให้พลังงานงานภายในเพิ่มขึ้นได้แตกต่างกัน

กรณี a) เมื่อพิจารณากฎข้อ 1 ของ Thermodynamics

$dU = dQ + dW$

โจทย์กำหนดให้ ภาชนะปิดสนิทมีปริมาตรคงที่ "งาน" ก็คือแรงคูณระยะทาง แม้ว่าสิ่งแวดล้อมภายนอกจะออกแรงบีบ เนื่องมาจากความดันบรรยากาศ แต่ไม่มีการเคลื่อนที่เพราะไม่สามารถกดให้ภาชนะ หรือปริมาตรของแก็สเล็กลงอีกได้ ดังนั้นในกรณี a) $dW=0$ มีผลทำให้ $dU=dQ$

จากโจทย์ $dQ=20 J$ ผนวกกับสมการ (E.1) ทำให้เราเขียนได้ว่า

$\displaylines{ dU = dQ = \frac{3}{2}nRdT \cr 20 = \frac{3}{2}\left( {0.2} \right)\left( {8.31} \right)dT \cr 8.02 = dT \cr}$

กล่าวคือ อุณหภูมิของแก็สในกรณี a) จะเพิ่มขึ้น 8.02 เคลวิน ตอบ

กรณี b) เริ่มด้วยการพิจารณากฎข้อ 1 ของ Thermodynamics อีกครั้ง

$dU = dQ + dW$

นี้ต่างจากในกรณีแรก เพราะภาชนะเป็นลูกสูบที่เปิดโอกาส ให้มีการขยายตัวได้ หรือลิ้นลูกสูบมีการเคลื่อนที่ ดังนั้นเราต้องพิจารณาแรงที่สิ่งแวดล้อมกระทำกับระบบ และระยะทางของการเคลื่อนที่ เพื่อคำนวณหางาน $dW$

จากภาพจะเห็นว่า แรงที่สิ่งแวดล้อมภายนอกกระทำนั้น ก็เนื่องมาจากความดันบรรยากาศ สมมุติให้พื้นที่ของลิ้นลูกสูบมีค่าเป็น A ดังนั้นแรง ซึ่งคือผลคูณของความดันและพื้นที่รองรับ ก็คือ

$F = P_0 A = 101000\,{\text{Pascal}}\, \times \,10\,{\text{cm}}^2 = 101000\,{\text{Pascal}}\, \times \,10\,\left( {0.01\,{\text{m}}} \right)^2 = 101\,{\text{Newtons}}$

แก็สเมื่อทำให้ร้อน มันย่อมขยายตัวออก ส่งผลให้ลิ้นลูกสูบเคลื่อนที่เป็นระยะทาง $dx = 10\,cm = 0.1\,m$ และงานที่สิ่งแวดล้อมกระทำก็คือ

$dW = - \,101 \times (0.1) = - 10.1\,{\text{Joules}}$

ให้สังเกตว่างานในที่นี้ติดลบ ในทางคณิตศาสตร์ ก็เพราะว่าทิศทางการเคลื่อนที่ นั้นตรงกันข้ามกับทิศทางของแรงที่กระทำ ในทางฟิสิกส์ หมายถึงพลังงานกำลังสูญเสียออกจากระบบสู่สิ่งแวดล้อมนั่นเอง

เมื่อเราทราบว่า $dW = - 10.1\,J$ ทำให้สามารถคำนวณพลังงานภายในของแก็สที่เพิ่มขึ้นได้ว่า

$dU = dQ + dW = 20 - 10.1 = 9.9J$

จากนั้น อาศัยสมการ (E.1) เพื่อโยงความสัมพันธ์ไปยังอุณหภูมิที่เพิ่มขึ้น

$\displaylines{ dU = \frac{3}{2}nRdT \cr 9.9 = \frac{3}{2}\left( {0.2} \right)\left( {8.31} \right)dT \cr 3.97 K = dT \cr}$

กล่าวคือ อุณหภูมิของแก็สในกรณี b) จะเพิ่มขึ้น 3.97 เคลวิน ตอบ

---

จากตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมาจะพบว่า ในกรณีที่เราเปิดโอกาสให้แก็สสามารถขยายตัวได้ เมื่อให้ความร้อนเข้าไปจะทำให้อุณหภูมิของแก็สเอง เพิ่มขึ้นได้ไม่สูงนัก (เพียงแค่ 4 องศา เมื่อเปรียบเทียบกับกรณีที่ปริมาตรคงที่ ซึ่งอุณหภูมิสูงขึ้น 8 องศา) นี่ก็เพราะว่าพลังงานส่วนหนึ่งถูกนำไปใช้ทำงานในการ "ต่อสู้" กับความดันบรรยากาศภายนอก เพื่อให้แก็สขยายตัวออก จึงเหลือพลังงานเพียงบางส่วนไปกักเก็บไว้ภายใน ส่งผลให้อุณหภูมิของมันมิได้สูงขึ้นเท่าที่ควร

Keyword: กฎข้อ 1 ของเทอร์โมไดนามิกส์ , งานและความร้อน