โดย รศ.ดร.ทีปานิส ชาชิโย ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยนเรศวร
ฟิสิกส์คงจะเป็นเรื่องน่าเบื่อ ถ้าสถานะของระบบที่เราต้องการศึกษานั้น หยุดนิ่งอยู่กับที่ และไม่มีความเปลี่ยนแปลงใดๆเลย หากแต่ในความเป็นจริงแล้วกลศาสตร์ควอนตัมเต็มไปด้วยการเปลี่ยนแปลง จากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่งอย่างไม่หยุดนิ่ง
การที่เราสามารถ อธิบายสถานะ \$ \psi_n(x) \$ หรือ พลังงาน \$ E_n \$ ของระบบนั้น ไม่ เพียง พอ จะต้องมีระเบียบแบบแผนในการควบคุมหรือเปลี่ยนแปลงสถานะของระบบนั้นๆได้อีกด้วย ในหัวข้อนี้ เราจะเริ่มศึกษา กลไกที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลง จาก สถานะเริ่มต้น ไปเป็นสถานะผลลัพธ์ หรือ ที่ เรียก ว่า Operator นั่นเอง
Operator ในทางควอนตัม ยังสัมพันธ์อยู่กับ กระบวนการวัด แต่นี่เป็นความหมายที่แคบและมีข้อจำกัดอยู่หลายประการ เพื่อเน้นย้ำให้นักศึกษาได้เห็นถึงความหมายที่กว้างขึ้น คือทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลง ของสถานะ เราจะศึกษาบ่อศักย์แบบ Simple Harmonic ที่อนุภาคถูกตรึงไว้ด้วยแรงคล้ายสปริง ซึ่งจะได้สาธิตการเปลี่ยนสถานะ จากเดิม \$ \psi_n(x)\$ ให้กลายเป็นสถานะอื่น ในชั้นพลังงานที่ต่ำลง \$ \psi_{n-1}(x)\$ โดยอาศัยกลไกที่เรียกว่า Operator
จากนั้นจะตีกรอบ Operator มาอยู่ในบริบทของ การวัดปริมาณทางฟิสิกส์ ซึ่งเป็นกลไกในการดึงข้อมูลทางสถิติ ที่เดิมถูกบรรจุอยู่ในฟังก์ชันคลื่น \$ \psi(x) \$ เพื่อนำออกมาใช้ ในการวิเคราะห์
Operator ในทางคณิตศาสตร์
อย่างง่ายที่สุด ที่จะรู้จักกับ Operator คือในทางคณิตศาสตร์ มันคือสิ่งที่ ทำ ให้ ฟังก์ชัน \$ f(x) \$ กลายเป็นอย่างอื่น ยกตัวอย่างเช่น
| \$ \frac{d}{dx} (x^2) = 2 x \$ หรือ \$ \frac{d}{dx} f(x) = g(x) \$ | ตัวอย่าง (1) |
จะเห็นว่า เครื่องหมาย \$ \tfrac{d}{dx} \$ มีผลทำให้ฟังก์ชัน \$ x^2 \$ กลายเป็น \$ 2x \$ เราเรียก \$ \frac{d}{dx} \$ นี้ว่า Operator และเมื่อนำฟังก์ชัน \$ f(x) \$ ใดก็ตาม เข้ามาพบกับ Operator ดังกล่าว จะทำให้กลายเป็นฟังก์ชันอันใหม่ \$ g(x) \$ ขึ้นมาแทนที่
| \$ \begin{split} (5) ln(1+x) & = 5 ln(1+x) \end{split} \$ | ตัวอย่าง (2) |
เลข 5 ที่เข้าไปคูณอยู่นั้น ก็เป็น Operator เพราะอะไร? เพราะมันทำให้ฟังก์ชันซึ่งเดิมอยู่ในรูป \$ ln(1+x) \$ กลายเป็น \$ 5 ln(1+x) \$
| \$ \begin{split} (x\frac{d^2}{dx^2}) (x^2) & = 2 x \end{split} \$ | ตัวอย่าง (3) |
ตัวอย่างสุดท้าย มีความซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย คือเป็น Operator ที่อยู่ในรูป \$ x\frac{d^2}{dx^2} \$ อย่างไรก็ตาม ในภาพรวมยังคงเหมือนกับตัวอย่างที่ผ่านมา คือเมื่อเข้าไปกระทำกับฟังก์ชัน \$ f(x) \$ จะทำให้เกิดฟังก์ชันอันใหม่ \$ g(x) \$ ขึ้นมาแทนที่
คราวนี้มาถึง สัญลักษณ์ ที่เราใช้แทน Operator คือใช้ ตัวอักษร แล้ว "ใส่หมวก" ให้กับมัน (ออกเสียงว่า แฮ่ท หรือ Hat ซึ่งแปลว่าหมวก) จากทั้ง 3 ตัวอย่างข้างต้น เราอาจเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ดังกล่าวได้ว่า
| \$ \begin{split} \hat{a} x^2 & = 2 x; & \qquad \text{Operator } \hat{a} \equiv \frac{d}{dx} \cr \hat{b} ln(1+x) & = 5 ln(1+x); & \qquad \text{Operator } \hat{b} \equiv 5 \cr \hat{c} x^2 & = 2 x; & \qquad \text{Operator } \hat{c} \equiv x \frac{d^2}{dx^2} \cr \end{split}\$ | ตัวอย่าง (4) |
อ่านว่า "โอเปอร์เรเตอร์ ซี-แฮ่ท เท่ากับ \$ x \frac{d^2}{dx^2} \$ ที่กำลังกระทำกับฟังก์ชัน \$ x^2 \$ เกิดเป็นฟังก์ชันอันใหม่ \$ 2 x\$" เช่นนี้เป็นต้น
บางครั้ง \$ \hat{a} f(x) \$ ก็ไม่จำเป็นต้องกลายเป็นฟังก์ชัน \$ g(x) \$ ที่ต่างไปจากเดิมเสมอไป เช่น
| \$ \hat{a} e^x = e^x; \qquad \text{Operator } \hat{a} \equiv \frac{d}{dx} \$ | ตัวอย่าง (5) |
ซึ่งได้เป็นฟังก์ชัน \$ e^{x} \$ อยู่เช่นเดิม จากทั้ง 5 ตัวอย่างข้างต้น เราพอจะเขียนความหมายของ Operator ในทางคณิตศาสตร์ได้ว่า
| ตัวดำเนินการ (Operator) คือสิ่งที่เข้าไปกระทำกับฟังก์ชัน \$ f(x) \$ แทนด้วยสัญลักษณ์ \$ \hat{O} f(x) \$ |
นับเป็นความหมายที่ครอบจักรวาลพอสมควร เกือบทุกอย่างล้วนสามารถเข้าไปกระทำกับฟังก์ชันได้ทั้งสิ้น การหาอนุพันธ์ \$ \frac{d^2}{dx^2} \$ ก็เข้าไปกระทำกับฟังก์ชัน เอาเลข 5 มาคูณ ก็เป็นการไปกระทำ กับฟังก์ชัน จึงสามารถเรียกมันว่า Operator
เราสามารถนำ Operator 2-3 อัน มาวางต่อกัน บ้างนำมา บวกกัน ลบกัน เกิดเป็น Operator ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น ยกตัวอย่างเช่น นิยามตัวดำเนินการ \$ \hat{d} = \hat{a}\hat{b} \$ ซึ่งเมื่อไปกระทำกับฟังก์ชัน \$ f(x) \$ จะได้
สังเกตว่าเรานำเลข 5 มาคูณก่อน แล้วค่อยหาอนุพันธ์ เพราะว่าตัวดำเนินการ \$ \hat{b} \$ นั้นอยู่ติดกับ \$ f(x) \$ หรือ มา เจอ กับ \$ f(x) \$ ก่อน จึงต้องนำเอา \$ \hat{b} \$ เข้าไปกระทำก่อน แล้วตัวดำเนินการ \$ \hat{a}\$ ค่อยตามมาทีหลัง
ตัวอย่างโจทย์
นิยามตัวดำเนินการ \$ \hat{d} = \hat{a}\hat{b} - \hat{b}\hat{a} \$ เมื่อ \$ \hat{a} = x, \enspace \hat{b} = \frac{d}{dx} \$ จงคำนวณ \$ \hat{d} x^2\$
วิธีทำนี้เป็นตัวอย่างการสร้าง Operator ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น มีทั้ง การนำมาวางต่อกัน คือ \$ \hat{a}\hat{b} \$ หรือ \$ \hat{b}\hat{a} \$ และนำมาลบกัน เกิดเป็น \$ \hat{a}\hat{b} - \hat{b}\hat{a} \$
คราวนี้ลองนำ ตัวดำเนินการ \$ \hat{d} \$ มากระทำกับฟังก์ชัน \$ f(x) = x^2 \$ และเพื่อความชัดเจน เราจะใช้ วงเล็บ เพื่อให้เห็นลำดับก่อนหลัง ได้ง่ายขึ้น
เมื่อแทน \$ f(x) = x^2 \$ จะได้ว่า
ดังนั้น \$ \hat{d} x^2 = -x^2 \$ ตอบ
หรือ แม้แต่สมการ Schrödinger ก็ยังสามารถเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ ของตัวดำเนินการ กล่าวคือ
| \$ \hat{H}\psi(x) = E \psi(x); \qquad \text{Hamiltonian Operator } \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)\$ | (6) |
สมการ (6) นิยามตัวดำเนินการ \$ \hat{H}\$ ว่าประกอบด้วย 2 ส่วน และเมื่อมันเข้าไปกระทำ กับฟังก์ชันคลื่น \$ \psi(x) \$ ก็ต้องกระจายออกเป็น 2 เทอม คือ \$ - \frac{\hbar^2}{2 m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) + V(x)\psi(x) \$ จึงทำให้สมการ \$ \hat{H}\psi(x) = E \psi(x) \$ มีค่าเทียบเท่าสมการ Schrödinger โดยปริยาย
ตัวดำเนินการ \$ \hat{H} \$ มีชื่อเรียกเป็นสากลว่า Hamiltonian Operator (อ่านว่า ฮา-มิน-โท-เนี่ยน) และเป็น Operator ที่มีความสำคัญและพบบ่อยเป็นอันดับหนึ่งในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งเราจะได้ขยายความในโอกาสต่อไป
ที่ผ่านมาเราไม่ได้เรียนรู้อะไรเลย !!! เกี่ยวกับฟิสิกส์ เป็นแต่เพียงการนิยาม การตั้งชื่อ หรือออกแบบลวดลายสัญลักษณ์ที่เรียกว่า Operator หากจะมีประโยชน์อยู่บ้าง คือประหยัดเวลาในการเขียนสมการที่เดิมยืดยาว ให้ย่นย่อเหลือเพียง \$ \hat{H}\psi(x) = E \psi(x) \$ เท่านั้นเอง
บ่อศักย์แบบ Simple Harmonic
ในทางคณิตศาสตร์ เราจะนิยาม Operator ขึ้นมาอย่างไรก็ได้ แต่ไม่แน่นัก ว่านิยามขึ้นมาสุ่มสี่สุ่มห้าแล้ว จะมีประโยชน์ในทางฟิสิกส์ ในหัวข้อต่อไปนี้ เราจะได้ศึกษาอนุภาคที่อยู่ภายใต้อิทธิพลของพลังงานศักย์ที่ยืดหยุ่นคล้ายสปริง เรียกว่า ซิมเปิลฮาร์มอนิก
| Simple Harmonic Potential \$ \hat{V} = \frac{1}{2} k x^2 \$ หรือ \$ \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \$ | (7) |
เมื่อ \$ k \$ แสดงถึงความแข็งของสปริง ในบริบทของกลศาสตร์ควอนตัมที่ประยุกต์กับระบบขนาดเล็ก มันคือโมเดลของพันธะเคมี ที่เม็ดอะตอม เสมือนว่าถูกเชื่อมด้วยสปริงขนาดเล็กอันหนึ่ง ยิ่งพันธะเคมีแข็งแรงมากเท่าไหร่ ค่าคงที่ \$ k \$ ก็สูงมากขึ้นเท่านั้น เช่นโมเลกุล \$ \text{H}_2 \$ ซึ่งเป็นพันธะเดี่ยว มีค่า \$ k = 575.5 \text{ N/m}\$ [อ้างอิง 1]
บางครั้ง แทนที่จะเขียนพลังงานศักย์โดยใช้ค่าคงที่ \$ k \$ เราเปลี่ยนมาใช้ค่าคงที่ \$ m \omega^2 \$ เมื่อ \$ m \$ คือมวลของอนุภาคที่กำลังสั่นแบบซิมเปิลฮาร์มอนิก และ \$ \omega \$ คือความถี่เชิงมุมของการสั่น ซึ่งในกรณีอย่างง่าย \$ \omega = \sqrt{k/m} \$ ดังที่เคยเรียนมาแล้วในระดับมัธยมปลาย
โจทย์ข้อนี้ เราต้องการหาฟังก์ชันคลื่น \$ \psi_n(x)\$ และ ระดับพลังงาน \$ E_n \$ ซึ่งเป็นผลเฉลยของสมการ Schrödinger ดังต่อไปนี้
| \$ \hat{H}\psi_n(x) = E_n \psi_n(x); \qquad \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \$ | (8) |
มี 2 วิธีในการแก้สมการข้างต้น หนึ่งคือใช้แคลคูลัส เพราะมันเป็นสมการอนุพันธ์ชนิดหนึ่ง ซึ่งมีตรรกะที่พลิกแพลงพอสมควร สองคือใช้ Operator ซึ่งตรงไปตรงมา และเป็นวิธีที่เราจะได้กล่าวถึง ดังต่อไปนี้
Paul Dirac (รางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ปี 1933 ร่วมกับ Erwin Schrödinger) นับเป็นคนแรก ที่ใช้วิธี Operator ในการคำนวณฟังก์ชันคลื่นและระดับพลังงานของซิมเปิลฮาร์มอนิก นอกจากนี้ [อ้างอิง 2] Albert Einstein ยังประยุกต์ใช้ ระดับพลังงาน ดังกล่าว ในการศึกษาหาความจุความร้อนของสสาร ดังนั้น สิ่งที่เราจะได้ศึกษาต่อไปนี้ ล้วนเป็นร่องรอยที่อัฉริยภาพของโลกเคยเดินผ่านมาแล้ว แทบทั้งสิ้น ซื้อตั๋วมาร่วมขบวนนำเที่ยวกับเราสิครับ
นิยาม
| ตัวดำเนินการ ขั้นบันได (Ladder Operator) \$ \begin{split} \hat{a} & = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( x + \frac{\hbar}{m \omega} \frac{d}{dx} \right) \cr \hat{a}^\dagger & = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( x - \frac{\hbar}{m \omega} \frac{d}{dx} \right) \end{split} \$ | (9) |
ข้างต้น ไม่ใช่การนิยามตัวดำเนินการขึ้นมาสุ่มสี่สุ่มห้า เพราะสมบัติของมันดังต่อไปนี้ มีประโยชน์นำมาแก้โจทย์ Simple Harmonic Potential ได้เป็นอย่างดี
| \$ \hat{H} \hat{a} - \hat{a} \hat{H} = - \hbar \omega \hat{a} \$ | (10) |
คอมมิวเตเตอร์ (Commutator)
โดยทั่วไป เราไม่สามารถสลับลำดับก่อนหลัง ของตัวดำเนินการได้ตามใจชอบ ยกตัวอย่างเช่น พิจารณา Operator \$ \hat{O}_1 = x \$ และ \$ \hat{O}_2 = \frac{d}{dx} \$ ผลของ \$ \hat{O}_1 \hat{O}_2 \$ และ \$ \hat{O}_2 \hat{O}_1 \$ ที่ไปกระทำกับฟังก์ชัน \$ f(x) = x^2 \$ ก็คือ
ในบรรทัดแรก \$ \hat{O}_2 \$ เข้าไปเจอกับ \$ f(x) \$ ก่อน จึงต้องหาอนุพันธ์ก่อน ในบรรทัดที่สอง เราสลับตัวดำเนินการ ทำ ให้ ต้อง คูณ ด้วย \$ x \$ ก่อน แล้วค่อยหาอนุพันธ์ ซึ่งได้ผลลัพธ์ไม่เท่ากัน กับบรรทัดแรก
ดังนั้นเราเขียนเป็นหลักการกว้างๆของ Operator ได้ว่า
กล่าวคือ เมื่อสลับลำดับของตัวดำเนินการ จะทำให้ผลลัพธ์ที่ได้ ไม่เหมือนเดิม หรือถ้าเราพลิกการใช้ภาษาสักเล็กน้อย เราบอกว่า โดยทั่วไปแล้ว ผลต่าง \$ \hat{O}_1 \hat{O}_2 - \hat{O}_2 \hat{O}_1 \$ มีค่าไม่เป็นศูนย์
คอมมิวเตเตอร์ คือกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ที่หาว่า ผลต่าง \$ \hat{O}_1 \hat{O}_2 - \hat{O}_2 \hat{O}_1 \$ มีค่าเป็นเท่าไหร่? เป็นตัวบ่งบอก ผลที่จะเกิดขึ้นหากเราสลับลำดับก่อนหลังของตัวดำเนินการทั้งสอง แทนด้วยสัญลักษณ์ วงเล็บสี่เหลี่ยม ดังนี้
| \$ [ \hat{O}_1, \hat{O}_2] \equiv \hat{O}_1 \hat{O}_2 - \hat{O}_2 \hat{O}_1 \$ | (11) |
สมบัติทางคณิตศาสตร์ของ Ladder Operator ดังสมการ (10) สามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ของคอมมิวเตเตอร์ได้ว่า
| \$ [ \hat{H}, \hat{a}] = - \hbar \omega \hat{a} \$ | (12) |
แน่นอนว่าเรายังคงวนเวียนอยู่กับการใช้สัญลักษณ์ จะอยู่ในรูปสมการ (10) หรือ (12) ก็ย่อมไม่ต่างกันในเนื้อหาสาระ แต่อย่างใด
แต่บางครั้ง การจัดระบบสัญลักษณ์ จะเป็นเครื่องมือชิ้นสำคัญที่ถูกนำมาใช้อธิบายฟิสิกส์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ เช่นการใช้เวคเตอร์ในวิชากลศาสตร์คลาสสิก การใช้เมทริกส์ในวิชาเรขาคณิต เพราะฉะนั้น เราจะยังคงอดทน ประดิษฐ์ประดอยศึกษาสมบัติทางคณิตศาสตร์ของ Commutator ให้ สา แก่ ใจ
สมบัติของ Commutator
1) คอมมิวเตเตอร์ของตัวมันเอง เท่ากับศูนย์ หรือ
| \$ [ \hat{A}, \hat{A}] = 0 \$ | (13) |
ข้างต้น มาจากคำนิยามของคอมมิวเตเตอร์ในสมการ (11) นั่นคือ \$ [ \hat{A}, \hat{A}] = \hat{A}\hat{A} - \hat{A}\hat{A} \$ สังเกตว่าเทอมหน้าและเทอมหลังมีค่าเท่ากัน เพราะเป็นตัวดำเนินการเดียวกัน จึงสามารถสลับลำดับก่อนหลังได้ ทำให้ผลลัพธ์ มีค่าเป็นศูนย์
อนึ่ง เวลานำตัวดำเนินการอันเดียวกัน มาวางต่อกันเอง เรามักเขียนอย่างย่อโดยใช้สัญลักษณ์เลขยกกำลัง เช่น \$ \hat{A}^2 \$ แปลว่า \$ \hat{A}\hat{A} \$ คือนำตัวดำเนินการ \$ \hat{A} \$ เข้าไปกระทำติดต่อกัน 2 ครั้ง หรือ \$ (\hat{A}\hat{B})^3 = (\hat{A}\hat{B})(\hat{A}\hat{B})(\hat{A}\hat{B})\$ เป็นต้น
2) คอมมิวเตเตอร์มีสมบัติการกระจาย
| \$ [ \hat{A}, \hat{B} + \hat{C}] = [ \hat{A}, \hat{B}] + [ \hat{A}, \hat{C}] \$ | (14) |
สมบัติข้อนี้ มาจากนิยามของคอมมิวเตเตอร์ดังสมการ (11) อีกเช่นเคย เมื่อพิจารณา \$ [ \hat{A}, \hat{B} + \hat{C}] \$ ในตอนแรกเราอาจมองว่า \$ \hat{B} + \hat{C} \$ เป็นตัวดำเนินการเพียงอันเดียวที่เกิดจาก \$ \hat{B} \$ และ \$ \hat{C} \$ มาผสมกันให้ซับซ้อนขึ้น จึงใส่วงเล็บครอบไว้ให้ชัดเจน กล่าวคือ
ด้านขวามือของสมการ เรากระจายออก แล้วจัดกลุ่มเสียใหม่
จึงเกิดเป็นสมบัติการกระจาย \$ [ \hat{A}, \hat{B} + \hat{C}] = [ \hat{A}, \hat{B}] + [ \hat{A}, \hat{C}] \$ ดังสมการ (14)
3) ค่าคงที่ภายในคอมมิวเตเตอร์ สามารถดึงออกมาข้างนอกได้
| \$ [ \hat{A}, \alpha \hat{B}] = \alpha [ \hat{A}, \hat{B}]\$ เมื่อ \$ \alpha \$ คือค่าคงที่ | (15) |
เพื่อเข้าใจที่มาของสมบัติข้อนี้ สมมุติค่าคงที่ \$ \alpha = 5 \$ จากนิยามของคอมมิวเตเตอร์ \$ [ \hat{A}, 5 \hat{B}] = \hat{A}(5 \hat{B}) - (5 \hat{B}) \hat{A} \$ เนื่องจากเลข 5 เป็นค่าคงที่ จึงมีสมบัติการสลับที่ของการคูณ แปลว่า เราแยกตัวประกอบมันออกมาด้านนอกสุดได้ กลายเป็น \$ 5 (\hat{A}\hat{B} - \hat{B} \hat{A}) = 5 [\hat{A}, \hat{B}] \$ ดังสมการ (15) ในที่สุด
4) คอมมิวเตเตอร์ติดลบ เมื่อสลับลำดับภายใน
| \$ [ \hat{A}, \hat{B}] = - [ \hat{B}, \hat{A}] \$ | (16) |
การบ้าน
จงพิสูจน์สมบัติในสมการ (16) โดยใช้นิยามของคอมมิวเตเตอร์
เพื่อฝึกการนำสมบัติของคอมมิวเตเตอร์ทั้ง 4 แบบ มาใช้ประโยชน์ นักศึกษาควรทำตัวอย่างโจทย์และการบ้าน ต่อไปนี้
ตัวอย่างโจทย์
จงแสดงให้เห็นว่า \$ [5 x + \frac{d}{dx}, 5x - \frac{d}{dx} ] = - 10 [x, \frac{d}{dx}]\$
วิธีทำเพื่อให้ง่ายต่อการมอง เราอาจลองกำหนดให้ \$ \hat{A} = 5x \$ และ \$ \hat{B} = \frac{d}{dx} \$ ทำให้โจทย์ข้างต้น อยู่ในรูปของ
จากนั้นใช้สมบัติการกระจาย ดังสมการ (14) เพื่อแตกออกเป็น 4 เทอม ดังนี้
ในบรรทัดที่สอง เทอม \$ [\hat{A}, \hat{A}] \$ และ \$ [\hat{B}, \hat{B}] \$ เท่ากับศูนย์ เพราะเป็น Commuator ของตัวมันเอง ในบรรทัดที่สาม เราสลับ \$ [\hat{B}, \hat{A}] \$ ให้เป็น \$ [\hat{A}, \hat{B}] \$ พร้อมเติมเครื่องหมายลบเข้าไปเพิ่ม ตามเอกลักษณ์ในสมการ (16)
มีผลให้ \$ [\hat{A} + \hat{B}, \hat{A} - \hat{B} ] = - 2 [\hat{A}, \hat{B}] \$ และเมื่อแทน \$ \hat{A} = 5x; \enspace \hat{B} = \frac{d}{dx} \$ กลับเข้าไป จะได้ว่า
ขั้นสุดท้าย คือดึงเลข 5 ซึ่งเป็นค่าคงที่ ออกมาด้านนอก ดังเอกลักษณ์ในสมการ (15) ซึ่งเมื่อดึงออกมาแล้วจะคูณกับเลข 2 ที่รออยู่ กลายเป็น 10
\$ [5 x + \frac{d}{dx}, 5x - \frac{d}{dx} ] = - 10 [x, \frac{d}{dx}]\$ ตอบ
การกระจายของ Operator หรือ Commutator มีลักษณะคล้ายการกระจายพนุนาม (Polynomial) เมื่อครั้งเราเรียนมัธยมปลายเป็นอย่างมาก พิจารณาตัวเลข \$ a,b,c,d \$
| พหุนาม | \$ \quad (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd \$ |
| ตัวดำเนินการ | \$ (\hat{A}+\hat{B})(\hat{C}+\hat{D}) = \hat{A}\hat{C} + \hat{A}\hat{D} + \hat{B}\hat{C} + \hat{B}\hat{D} \$ |
| คอมมิวเตเตอร์ | \$ [\hat{A}+\hat{B}, \hat{C}+\hat{D}]= [\hat{A},\hat{C}] + [\hat{A},\hat{D}] + [\hat{B},\hat{C}] + [\hat{B},\hat{D}] \$ |
แต่สิ่งที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง และต้องระวังให้มาก ก็คือ Operator หรือ Commutator จะสลับลำดับก่อนหลังโดยพลการไม่ได้ ต่างจากพหุนามซึ่งเป็นเพียงตัวเลข ที่เราจะสลับหน้าหลังได้โดยไม่ต้องกังวล ยกตัวอย่างเช่น
ข้างต้นจะเห็นว่า ในกรณีพหุนาม เราสามารถสลับ \$ ac \$ เป็น \$ ca \$ ก็ยังคงให้ผลลัพธ์เท่าเดิม เพราะเป็นเพียงตัวเลข ย่อมมีสมบัติการสลับที่ของการคูณ ในขณะที่กรณีของตัวดำเนินการหรือคอมมิวเตเตอร์ การสลับ \$ \hat{A} \leftrightarrow \hat{C} \$ จะทำให้ผลลัพธ์ผิดพลาด
ดังนั้น เมื่อทำการกระจาย Operator และ Commutator จะต้องระวังอย่าให้ลำดับก่อนหลัง ผิดเพี้ยนไปจากเดิม5) Operator ภายในคอมมิวเตเตอร์ สามารถดึงออกมาข้างนอกได้
| \$ [ \hat{A}, \hat{B}\hat{C}] = [ \hat{A}, \hat{B}]\hat{C} + \hat{B} [ \hat{A}, \hat{C}]\$ | (17) |
ในเอกลักษณ์ข้างต้น จากเดิมที่มีตัวดำเนินการ \$ \hat{B}\hat{C}\$ พัวพันกันอยู่ภายในคอมมิวเตเตอร์ กลายเป็นว่าสามารถถอดมันออกมาได้ เหลือเพียง \$ \hat{B} \$ หรือ \$ \hat{C} \$ ตัวใดตัวหนึ่งเท่านั้น ที่อยู่ภายใน เอกลักษณ์ข้อนี้อาจมีประโยชน์อยู่บ้างในการลดรูปให้ง่ายขึ้น ซึ่งเราจะนำมาใช้ในโอกาสต่อไป
วิธีการพิสูจน์ เริ่มจากนิยามของคอมมิวเตเตอร์
จากนั้น บวก \$ \color{blue}{\hat{B}\hat{A}\hat{C}} \$ เข้าแล้วลบออก ทางด้านขวามือของสมการ
ในบรรทัดที่สอง พิจารณาสองเทอมแรก เราดึงเอาตัวร่วม \$ \hat{C}\$ ออกมาข้างนอกวงเล็บ นี้สามารถทำได้ เพราะยังคงตำแหน่งของตัวดำเนินการ \$ \hat{C}\$ ไว้ด้านหลัง ดังที่ได้กล่าวมาแล้วว่า การกระจายตัวดำเนินการนั้น ต้องคงลำดับก่อนหลังของมันไว้ไม่ให้ผิดเพี้ยนไปจากเดิม ในสองเทอมหลัง เราดึงเอาตัวร่วม \$ \hat{B}\$ ออกมา ซึ่งเมื่อดึงออกมาต้องวางไว้ข้างหน้า เช่นเดิม
สิ่งที่เหลืออยู่ภายในวงเล็บ ก็คือคอมมิวเตเตอร์นั่นเอง จึงได้ความสัมพันธ์ ดังสมการ (17)
ตัวอย่างโจทย์
จงแสดงให้เห็นว่า
| \$ [x, \frac{d}{dx} ] = - 1\$ | (18) |
วิธีทำ
เอกลักษณ์ข้อนี้มีความสำคัญอย่างมากในทางฟิสิกส์ ถึงกับโยงไปถึงหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก ว่าด้วยการวัดตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาค แต่ในขั้นนี้ เราจะมองในมุมของคณิตศาสตร์ไปก่อน
เริ่มด้วยการลองนำคอมมิวเตเตอร์ ไปกระทำกับฟังก์ชัน \$ f(x) \$ ใดๆ
สังเกตการใช้วงเล็บด้านขวามือของสมการ เพื่อเพิ่มความระมัดระวังในลำดับก่อนหลัง เทอมที่สอง เราใช้กฎของแคลคูลัส \$ \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \$ กล่าวคือ \$ \frac{d}{dx} \left( x f(x) \right) = x \left( \frac{d}{dx} f(x) \right) + f(x) \underbrace{\left( \frac{d}{dx}x \right)}_{=1} \$ มีผลให้
สองเทอมแรก หักล้างกันเอง เหลือเพียง
วิเคราะห์สมการข้างต้นให้ละเอียด ด้านซ้ายมือ คือคอมมิวเตเตอร์กระทำกับ \$ f(x) \$ ด้านขวามือบอกเราว่า การกระทำอันนี้ เทียบเท่ากับเอาเลข \$ -1 \$ เข้ามาคูณ ดังนั้น \$ [x, \frac{d}{dx} ] \$ ก็มีค่าเทียบเท่ากับตัวดำเนินการ \$ -1 \$ นั่นเอง
\$ [x, \frac{d}{dx} ] = - 1\$ ตอบ
ตัวอย่างโจทย์
จงใช้เอกลักษณ์ของคอมมิวเตเตอร์ในสมการ (17) แสดงให้เห็นว่า
| \$ [x, \frac{d^2}{dx^2} ] = - 2 \frac{d}{dx}\$ | (19) |
วิธีทำ
อันที่จริงเราสามารถใช้กฎของแคลคูลัส \$ \frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \$ เพื่อทำโจทย์ข้อนี้ได้ นักศึกษาควรลองเส้นทางนี้เมื่อมีเวลาว่าง แต่ในตัวอย่างนี้เราจะนำเอกลักษณ์ \$ [ \hat{A}, \hat{B}\hat{C}] = [ \hat{A}, \hat{B}]\hat{C} + \hat{B} [ \hat{A}, \hat{C}]\$ ในสมการ (17) มาใช้ประโยชน์
นิยามตัวดำเนินการ \$ \hat{A} = x, \enspace \hat{B} = \frac{d}{dx}, \enspace \hat{C} = \frac{d}{dx}\$ สังเกตว่า \$ \hat{B}\hat{C} = \frac{d}{dx}\frac{d}{dx} = \frac{d^2}{dx^2}\$ ดังนั้น จากโจทย์
อาศัยผลลัพธ์จากตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา \$ [x, \frac{d}{dx} ] = - 1\$ ดังนั้น \$ \underbrace{[x, \frac{d}{dx}]}_{-1}\frac{d}{dx} + \frac{d}{dx}\underbrace{[x, \frac{d}{dx}]}_{-1} = - 2 \frac{d}{dx} \$ จึงสรุปได้ว่า
\$ [x, \frac{d^2}{dx^2} ] = - 2 \frac{d}{dx}\$ ตอบ
การบ้าน
จงพิสูจน์เอกลักษณ์ต่อไปนี้
| \$ [x^2, \frac{d}{dx} ] = - 2 x\$ | (20) |
จึงนับว่า สา แก่ ใจ พอสมควร สำหรับการศึกษาสมบัติของคอมมิวเตเตอร์ ซึ่งนอกจากโจทย์ซิมเปิลฮาร์มอนิกในบทนี้แล้ว เราจะได้ใช้สมบัติเหล่านี้เพื่อศึกษาการหมุนของวัตถุ เช่น อิเล็กตรอนที่หมุนอยู่รอบนิวเคลียส หรือ โมเลกุลที่หมุนควงรอบแกนกลางของพันธะเคมี ในบทที่ 4 กันต่อไป
เป็นการดีที่เราจะได้สรุปสมบัติเหล่านี้ เพื่อง่ายต่อการนำมาใช้งาน ในอนาคต
| นิยาม | \$ [ \hat{A}, \hat{B}] \equiv \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A} \$ |
| ตัวดำเนินการเดียวกัน | \$ [ \hat{A}, \hat{A}] = 0 \$ |
| สมบัติการกระจาย | \$ [ \hat{A}, \hat{B} + \hat{C}] = [ \hat{A}, \hat{B}] + [ \hat{A}, \hat{C}] \$ |
| ดึงค่าคงที่ ออกมา | \$ [ \hat{A}, \alpha \hat{B}] = \alpha [ \hat{A}, \hat{B}]\$ เมื่อ \$ \alpha \$ คือค่าคงที่ |
| สลับลำดับภายใน | \$ [ \hat{A}, \hat{B}] = - [ \hat{B}, \hat{A}] \$ |
| ดึงตัวดำเนินการ ออกมา | \$ [ \hat{A}, \hat{B}\hat{C}] = [ \hat{A}, \hat{B}]\hat{C} + \hat{B} [ \hat{A}, \hat{C}]\$ |
| \$ [x, \frac{d}{dx} ] = - 1\$ | |
| \$ [x, \frac{d^2}{dx^2} ] = - 2 \frac{d}{dx}\$ | |
| \$ [x^2, \frac{d}{dx} ] = - 2 x\$ |
สุดท้าย วกกลับมาที่ระบบซิมเปิลฮาร์มอนิกส์ เราจะได้พิสูจน์สมบัติของ Ladder Operator ที่ว่า \$ [ \hat{H}, \hat{a}] = - \hbar \omega \hat{a} \$ ดังในสมการ (12)
พิจารณา \$ [ \hat{H}, \hat{a}] \$ เมื่อ Hamiltonian \$ \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \$ และ Ladder Operator \$ \hat{a} = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} ( x + \frac{\hbar}{m \omega} \frac{d}{dx} ) \$
ใช้สมบัติการกระจาย แตกออกเป็น 4 คอมมิวเตเตอร์ จากนั้น ดึงค่าคงที่ ออกมาด้านนอก
คอมมิวเตเตอร์ \$ [\frac{d^2}{dx^2},\frac{d}{dx}] =0 \$ และ \$ [x^2, x] =0 \$ เพราะเป็นตัวดำเนินการชนิดเดียวกันอยู่ภายใน อาทิเช่น \$ x^2 x - x x^2 = x^3 - x^3 = 0\$ จึงตัดทิ้งได้ เหลือเพียง \$ [\frac{d^2}{dx^2}, x] \$ และ \$ [x^2, \frac{d}{dx}]\$ โชคดีที่เราคำนวณไว้เรียบร้อยแล้ว ในตารางข้างต้น
ในบรรทัดที่สอง เราดึงเอา \$ - \hbar \omega \$ ออกมาไว้นอกวงเล็บ พร้อมจัดรูปค่าคงที่อยู่ภายใน จะเห็นว่า ที่เหลืออยู่ในวงเล็บคือ Ladder Operator \$ \hat{a} \$ ดังนั้น
ในลำดับต่อไป เราจะใช้สมบัติทางคณิตศาสตร์ข้างต้น เพื่อคำนวณระดับพลังงานและฟังก์ชันคลื่น ของบ่อศักย์ซิมเปิลฮาร์มอนิก
ฟิสิกส์ของตัวดำเนินการขั้นบันได
พิจารณา ฟังก์ชันคลื่น \$ \psi(x) \$ ซึ่งเป็นผลเฉลยของสมการ Schrödinger กล่าวคือ \$ \hat{H} \psi(x ) = E\psi(x) \$ เราสนใจว่า
|
หาก Ladder Operator \$ \hat{a} \$ เข้ามากระทำ เกิดเป็น \$ \hat{a}\psi(x) = g(x) \$ แล้ว \$ g(x) \$ จะมีสมบัติ แตก ต่าง จาก เดิม อย่างไรบ้าง? |
ลองศึกษาพลังงานของ \$ g(x) \$ โดยนำเอาตัวดำเนินการ Hamiltonian \$ \hat{H} \$ เข้าไปกระทำ
| \$ \hat{H} \color{blue}{g(x)} = \hat{H} \color{blue}{\hat{a}\psi(x)} \$ | (21) |
เราเจอทางตัน !!! แม้รู้ว่า \$ \hat{H} \psi(x ) = E\psi(x) \$ แต่ในสมการ (21) \$ \hat{H} \$ ไม่ได้กำลังกระทำกับ \$ \psi(x) \$ เพราะมี \$ \hat{a} \$ คั่นอยู่ตรงกลาง
คำตอบคือ คอมมิวเตเตอร์ เพราะเราทราบว่า \$ [ \hat{H}, \hat{a}] = \hat{H}\hat{a} - \hat{a}\hat{H} = - \hbar \omega \hat{a} \$ จึงสามารถแทน \$ \hat{H}\hat{a} = \hat{a}\hat{H} - \hbar \omega \hat{a} \$ เข้าไปในสมการ (21)
บรรทัดที่สาม หลังจากกระจาย \$ \psi(x) \$ เข้าในวงเล็บ เราก็บรรลุเป้าหมาย !!! คือสลับเอา \$ \hat{H} \$ เข้าไปกระทำกับ \$ \psi(x) \$ จึงจัดรูปต่อไปได้ว่า
ในบรรทัดแรก เราดึงค่าคงที่ \$ E \$ มาวางไว้ข้างหน้า จากนั้นแยกเอา \$ \hat{a}\psi(x) \$ ออกมานอกวงเล็บ สุดท้าย จะได้สมการที่บอกว่า \$ g(x) \$ มีพลังงาานเป็นเท่าใด
เพื่อตีความข้างต้น สังเกตโครงสร้างของสมการ เทียบกับของ \$ \psi(x) \$
สิ่งที่เหมือนกัน คือ ทั้งคู่ อยู่ในรูปสมการ Schrödinger ที่ด้านซ้ายมือมีตัวดำเนินการ \$ \hat{H} \$ เข้าไปกระทำ และด้านขวามือ มีค่าคงที่ คูณ อยู่ และค่าคงที่อันนี้เอง ก็คือ พลังงาน
สิ่งที่ต่างกัน ในกรณีของ \$ \psi(x) \$ มีพลังงาน \$ E \$ ในขณะที่กรณี \$ g(x) \$ มีพลังงาน ลด ลง เหลือ \$ E - \hbar \omega \$
ฟังก์ชัน \$ g(x) \$ คืออะไร? มันคือผลจากการที่ ตัวดำเนินการ \$ \hat{a} \$ เข้าไปกระทำกับ \$ \psi(x) \$ เราจึงปะติดปะต่อผลของการสืบสวนนี้ได้ว่า
| Ladder Operator \$ \hat{a} = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( x + \frac{\hbar}{m \omega} \frac{d}{dx} \right) \$ เมื่อกระทำกับ \$ \psi(x) \$ จะเกิดเป็นสถานะใหม่ \$ \hat{a}\psi(x) \$ ซึ่งมีพลังงานลดลงจากเดิม \$ \hbar \omega \$ |
สถานะพื้นของซิมเปิลฮาร์มอนิก
พิจารณากรณีพิเศษที่ \$ \psi(x) \$ เป็น สถานะพื้น แทนด้วยสัญลักษณ์ \$ \psi_0(x) \$ คือ มีพลังงานต่ำสุด คือ ไม่มีสถานะใด ต่ำลงไปกว่านี้อีกแล้ว
เมื่อผนวกกับฟิสิกส์ของ Ladder Operator ที่ผ่านมา เราเขียนเป็นสมการได้ว่า
ทำไมจึงเป็นศูนย์ !? เพราะหน้าที่ของ \$ \hat{a}\$ คือทำให้ เกิดสถานะใหม่ ที่มีพลังงานต่ำลงมา ก็ในเมื่อ โดยนิยามแล้ว \$ \psi_0(x) \$ เป็นสถานะสุดท้าย \$ \hat{a}\psi_0(x)\$ ย่อมไม่อาจทำให้เกิดสถานะใหม่ที่มีพลังงานต่ำลงมาได้อีก จึงต้องเท่ากับศูนย์
สมการข้างต้น ยังมีประโยขน์ ในการหารูปแบบทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชัน \$ \psi_0(x)\$ เพราะเมื่อจัดรูปสักเล็กน้อย
มันคือสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ธรรมดา นี่เอง ฟังก์ชัน \$ \psi_0(x)\$ ที่ อนุพันธ์ ของ มัน คือ \$ x \$ คูณกับตัวมันเอง ก็เห็นจะเป็น \$ e^{-x^2 }\$ ในทำนองที่ว่า \$ \frac{d}{dx} e^{-x^2} = -2 x e^{-x^2}\$ ซึ่งเมื่อนำค่าคงที่ \$ \frac{m \omega}{\hbar}\$ มาพิจารณาร่วมด้วย จะได้
เรายังติดตัวแปร \$ A \$ ค้างไว้ เพราะต้องไม่ลืมสมบัติ Normalizaation ของฟังก์ชันคลื่น ที่ความน่าจะเป็นสุทธิต้องเป็น 1
เพื่อคำนวนผลการอินทิเกรต เราใช้เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร \$ y \equiv \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x \$ ทำให้ \$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{m \omega}{\hbar} x^2} dx = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}} \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy}_{\sqrt{\pi}}\$ หรือ
สุดท้าย ได้ฟังก์ชันคลื่นในสถานะพื้น ที่สมบูรณ์ ก็คือ
| Simple Harnomic Potential \$ \psi_0(x) = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2}\$ |
ระดับพลังงาน
แทน \$ \psi_0(x) \$ เข้าไปในสมการ Schrödinger
เมื่อคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง
จึงแทนกลับเข้าไปในสมการ Schrödinger อีกครั้ง
ดังนั้น
| ระดับพลังงานของสถานะพื้น \$ E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega \$ |
เมื่อผนวกกับความหมายของ Ladder Operator \$ \hat{a} \$ ที่ทำให้พลังงานของสถานะต่ำลงมาทีละขั้น ทีละขั้น คราวละ \$ \hbar \omega \$ จนมาถึงขั้นสุดท้าย \$ E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega \$ จากนั้นคิดย้อนกลับ ขึ้นไปข้างบน
สังเกตแพทเทิร์นที่เกิดขึ้นซ้ำๆกันข้างต้น เราเห็นว่า
| Simple Harnomic Potential \$ E_n = (n+\frac{1}{2})\hbar \omega \$ |
สถานะกระตุ้น
ที่จริงแล้วในตอนต้น เรานิยาม Ladder Operator อยู่ 2 อัน
ในกรณี \$ \hat{a} \$ เราได้ศึกษาความหมายทางฟิสิกส์ของมันมาพอสมควร และนำมาประยุกต์ใช้คำนวณฟังก์ชันคลื่น \$ \psi_0(x )\$ และระดับพลังงาน \$ E_0 \$ ของสถานะพื้น ดังที่ผ่านมา
แต่ในกรณี \$ \hat{a}^\dagger \$ มีความหมายทางฟิสิกส์ แตกต่าง กันอย่างไร? เราจะซ่อนคำตอบไว้ ในการบ้านต่อไปนี้
การบ้าน
จงใช้สมบัติของคอมมิวเตเตอร์ เพื่อพิสูจน์ว่า \$ [\hat{H}, \hat{a}^\dagger] = \hbar \omega \hat{a}^\dagger \$ จากนั้นใช้ลำดับของตรรกะ เพื่อแสดงว่า
| Ladder Operator \$ \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( x - \frac{\hbar}{m \omega} \frac{d}{dx} \right) \$ เมื่อกระทำกับ \$ \psi(x) \$ จะเกิดเป็นสถานะใหม่ \$ \hat{a}^\dagger\psi(x) \$ ซึ่งมีพลังงานเพิ่มขึ้นจากเดิม \$ \hbar \omega \$ |
กล่าวอีกนัยหนึ่ง
นั่นคือ \$ \hat{a}^\dagger \$ ทำให้สถานะไปอยู่ในชั้นพลังงานที่สูงขึ้น เราสามารถใช้สมบัติอันนี้ สร้างสถานะกระตุ้น ของระบบขึ้นมาได้
ด้านขวามือ คือ \$ \hat{a}^\dagger \psi_0(x) \$ ซึ่งจะสร้างสถานะ \$ \psi_1(x) \$ ขึ้นมา แต่เราติดตัวแปร \$ A \$ คูณค้างไว้อีกเช่นเคย เพราะต้องบังคับให้ฟังก์ชัน \$ \psi_1(x) \$ มีสมบัติการ Normailzation จึงจะสมบูรณ์ แต่ก่อนอื่น แทน \$ \psi_0(x) = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2}\$ เข้าไปในสมการข้างต้น
หาค่า \$ A \$ ได้จากเงื่อนไขการ Normalization
กลายเป็นว่า \$ A = 1\$ จึงได้ฟังก์ชันคลื่นในสถานะกระตุ้น ที่สมบูรณ์ก็คือ
| Simple Harnomic Potential \$ \psi_1(x) = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} 2 x e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2}\$ |
การบ้าน
จงตรวจสอบว่า \$ A = 1 \$ ในกรณี \$ \psi_1(x) \$
บอกใบ้ ใช้เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร และ \$ \int_{-\infty}^{+\infty}y^2 e^{-y^2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\$
ฟังก์ชันคลื่นในสถานะกระตุ้นที่สูงขึ้น ก็คำนวณได้จากแนวคิดเดียวกัน คืออาศัยสมบัติของ Ladder Operator \$ \hat{a}^\dagger \psi_n(x) \rightarrow \psi_{n+1}(x) \$ เพื่อไต่บันได จาก \$ \psi_1(x) \$ ขั้นไป \$ \psi_2(x) \$ ขึ้นไป \$ \psi_3(x) \$ ทีละขั้น ทั้งนี้ต้องไม่ลืมติดตัวแปร \$ A \$ คูณค้างไว้ เพื่อบังคับสมบัติการ Normalization เช่นที่ผ่านมา
เราจะได้สรุป รูปแบบทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันคลื่นเหล่านี้ ทิ้งไว้เป็นหน้าที่ของบัณฑิตพึงฝึกและศึกษา ด้วยตนเอง
| \$ \begin{split} \psi_0(x) & = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} \cr \psi_1(x) & = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \sqrt{2} y e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} \cr \psi_2(x) & = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2}} (2 y^2 -1 ) e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} \cr \psi_3(x) & = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{3}} (2 y^3 -3 y ) e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} \cr \end{split} \$ |
| เมื่อ นิยาม \$ y \equiv \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x\$ เพื่อความกระชับของสมการ |
การบ้าน
จงใช้สมบัติของคอมมิวเตเตอร์ พิสูจน์ความสัมพันธ์ต่อไปนี้
สรุป
หัวข้อที่ผ่านมา มีรูปภาพประกอบอยู่เป็นจำนวนมาก หากแต่เป็นมโนภาพที่นักศึกษาจะต้องจินตนาการขึ้นเอง บ่อศักย์ซิมเปิลฮาร์มอนิก \$ V(x) \sim x^2 \$ คือกราฟพาราโบลา ค่อยโก่ง โค้งงอนขึ้นไปไม่สิ้นสุด เมื่อเจอฟังก์ชันคลื่น \$ \psi_0(x) \sim e^{-x^2} \$ พลันมองเห็นภาพ เป็นกราฟระฆังคว่ำ ขึ้นมาในห้วงของความคิด
อันที่จริง วิธีที่เลวร้ายที่สุดในการเรียนฟิสิกส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในวิชาฟิสิกส์เบื้องต้น คือการมุ่งไปที่ตัวแปร x, y, z แทนตัวเลขในสูตรและคิดคำนวณหาผลลัพธ์ สิ่งเหล่านี้ตามมาทีหลัง และเราต้องปลูกฝังให้นักเรียนรู้ว่า คณิตศาสตร์ตามมาทีหลัง
ผม จะยกตัวอย่างในมุมของนักฟิสิกส์ทฤษฎีคนหนึ่ง ที่คลุกคลีอยู่กับสาขากลศาสตร์ควอนตัมในระดับอะตอมหรือโมเลกุล หากคุณเดินมาเงียบๆแอบดูผมในขณะทำงาน จะเห็นสมการบนกระดานเต็มไปหมด ถ้าถามว่าเห็นอะไรอยู่บนกระดาน ผมจะตอบว่านี้คืออิเล็กตรอนกำลังเคลื่อนที่ มันผลักกับอิเล็กตรอนอีกตัว ฯลฯ
แม้มือจะเขียนสมการ แต่ใจ จินตนาการถึงสิ่งที่เกิดขึ้น มันเหมือนกับเส้นที่ขีดเขียนคล้ายสมการอยู่นั้น ผุดขึ้นมามีชีวิต!
ก็ นี่ มิ ใช่ การอ่านนิยายหรอกหรือ? ในขณะที่สายตากวาดมองลายหมึกบนกระดาษ แต่ใจคุณวาด เป็นภาพขึ้นให้เห็น มันน่าแปลกมากนะ ที่ตัวอักษรซึ่งหยุดนิ่งบนผืนกระดาษ 2 มิติ กลับกลาย ขยายเป็นมโนภาพเคลื่อนไหวใน 3 มิติ
ผมไม่ทราบว่าคุณเป็นแฟนนิยายกำลังภายในเหมือนผมหรือเปล่า แต่รับรองว่า เพลงมวยของเล็กเซียวหงส์ในจินตนาการของผม ลึกล้ำกว่าภาพยนตร์ไม่ว่าสมัยใดที่สร้างขึ้น อีกทั้งแม่นางที่ปรากฏในมโนคติขณะอ่านนวนิยาย ก็ไม่มีหญิงผู้ใดงดงามเสมอเหมือน (ยกเว้นหลิวอี้เฟย แต่นั่นไว้ถกกันทีหลัง)
ประเด็นก็คือว่า สมัยนี้เรามักสอนฟิสิกส์เบื้องต้นให้นักเรียน คล้ายกับให้เขาอ่านนิยายพอให้ออกเสียงเป็นคำๆ เพียงลายหมึกที่เห็นอยู่ต่อหน้า โดยไม่จำเป็นต้องเรียงร้อยแต่ละคำขึ้นเป็นประโยคที่ซ่อนความหมายอยู่ภายใน ไม่จำเป็นต้องโยงไปเห็นภาพของสิ่งที่เกิดขึ้นจริง ซึ่งผมว่า น่าเสียดายมากเลยทีเดียว
ในหัวข้อนี้เราได้เรียนรู้ Operator ที่เข้าไปกระทำกับฟังก์ชัน กลายเป็นฟังก์ชันอันใหม่เกิดขึ้นมา ยกตัวอย่างเช่น Ladder Operator \$ \hat{a}\psi_n(x) \rightarrow \psi_{n-1}(x)\$
เราใช้ความหมายทางฟิสิกส์ของมัน เพื่อคำนวณฟังก์ชันคลื่น \$ \psi_n(x) \$ และพลังงาน \$ E_n = (n+\frac{1}{2})\hbar \omega\$ ของระบบซิมเปิลฮาร์มอนิก \$ V(x) = \frac{1}{2} m \omega x^2 \$
ในขณะเดียวกัน ก็ได้เรียนรู้สมบัติที่สำคัญของ Commutator แทนด้วยสัญลักษณ์ \$ [\hat{A}, \hat{B} ] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A} \$
อย่างไรก็ตาม Operator ในทางควอนตัม ยังมีความหมายอีกแง่หนึ่ง คือ เป็นการวัดปริมาณทางฟิสิกส์ อาทิเช่น โมเมนตัม พลังงานจลน์ วัดตำแหน่ง ฯลฯ ซึ่งคงจะต้องผ่อนผันออกไป ในโอกาสหน้า
ด้วยรักและผูกพัน, ทีปานิส ชาชิโย
Keyword: ควอนตัม, ระดับพลังงานงาน Simple Harmonic Potential, Operator
อ้างอิง
- [1] Robert G. Parr, Weitao Yang "Density-Functional Theory of Atoms and Molecules" (1994) page 179 Table 8.2 LSD Spectroscopic Constants for Diatomic Molecules
- [2] A. Einstein, Ann. Physik, vol. 22, p. 186 (1907)
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น