Operator และ Simple Harmonic Potential

โดย รศ.ดร.ทีปานิส ชาชิโย ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยนเรศวร

ฟิสิกส์คงจะเป็นเรื่องน่าเบื่อ ถ้าสถานะของระบบที่เราต้องการศึกษานั้น หยุดนิ่งอยู่กับที่ และไม่มีความเปลี่ยนแปลงใดๆเลย หากแต่ในความเป็นจริงแล้วกลศาสตร์ควอนตัมเต็มไปด้วยการเปลี่ยนแปลง จากสถานะหนึ่งไปยังอีกสถานะหนึ่งอย่างไม่หยุดนิ่ง

การที่เราสามารถ อธิบายสถานะ $\psi_n(x)$ หรือ พลังงาน $E_n$ ของระบบนั้น   ไม่ เพียง พอ   จะต้องมีระเบียบแบบแผนในการควบคุมหรือเปลี่ยนแปลงสถานะของระบบนั้นๆได้อีกด้วย ในหัวข้อนี้ เราจะเริ่มศึกษา กลไกที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลง จาก สถานะเริ่มต้น ไปเป็นสถานะผลลัพธ์ หรือ ที่ เรียก ว่า Operator นั่นเอง

Operator ในทางควอนตัม ยังสัมพันธ์อยู่กับ กระบวนการวัด แต่นี่เป็นความหมายที่แคบและมีข้อจำกัดอยู่หลายประการ   เพื่อเน้นย้ำให้นักศึกษาได้เห็นถึงความหมายที่กว้างขึ้น คือทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลง ของสถานะ เราจะศึกษาบ่อศักย์แบบ Simple Harmonic ที่อนุภาคถูกตรึงไว้ด้วยแรงคล้ายสปริง   ซึ่งจะได้สาธิตการเปลี่ยนสถานะ จากเดิม $\psi_n(x)$ ให้กลายเป็นสถานะอื่น ในชั้นพลังงานที่ต่ำลง $\psi_{n-1}(x)$ โดยอาศัยกลไกที่เรียกว่า Operator

จากนั้นจะตีกรอบ Operator มาอยู่ในบริบทของ การวัดปริมาณทางฟิสิกส์   ซึ่งเป็นกลไกในการดึงข้อมูลทางสถิติ ที่เดิมถูกบรรจุอยู่ในฟังก์ชันคลื่น $\psi(x)$   เพื่อนำออกมาใช้ ในการวิเคราะห์

Operator ในทางคณิตศาสตร์

อย่างง่ายที่สุด ที่จะรู้จักกับ Operator คือในทางคณิตศาสตร์   มันคือสิ่งที่ ทำ ให้ ฟังก์ชัน $f(x)$ กลายเป็นอย่างอื่น ยกตัวอย่างเช่น

$\frac{d}{dx} (x^2) = 2 x$     หรือ     $\frac{d}{dx} f(x) = g(x)$

ตัวอย่าง (1)

จะเห็นว่า เครื่องหมาย $\tfrac{d}{dx}$ มีผลทำให้ฟังก์ชัน $x^2$ กลายเป็น $2x$     เราเรียก $\frac{d}{dx}$ นี้ว่า Operator   และเมื่อนำฟังก์ชัน $f(x)$ ใดก็ตาม เข้ามาพบกับ Operator ดังกล่าว   จะทำให้กลายเป็นฟังก์ชันอันใหม่ $g(x)$ ขึ้นมาแทนที่

$\begin{split} (5) ln(1+x) & = 5 ln(1+x) \end{split}$

ตัวอย่าง (2)

เลข 5 ที่เข้าไปคูณอยู่นั้น ก็เป็น Operator     เพราะอะไร?   เพราะมันทำให้ฟังก์ชันซึ่งเดิมอยู่ในรูป $ln(1+x)$ กลายเป็น $5 ln(1+x)$

$\begin{split} (x\frac{d^2}{dx^2}) (x^2) & = 2 x \end{split}$

ตัวอย่าง (3)

ตัวอย่างสุดท้าย มีความซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย   คือเป็น Operator ที่อยู่ในรูป $x\frac{d^2}{dx^2}$ อย่างไรก็ตาม ในภาพรวมยังคงเหมือนกับตัวอย่างที่ผ่านมา คือเมื่อเข้าไปกระทำกับฟังก์ชัน $f(x)$   จะทำให้เกิดฟังก์ชันอันใหม่ $g(x)$ ขึ้นมาแทนที่

คราวนี้มาถึง สัญลักษณ์ ที่เราใช้แทน Operator คือใช้ ตัวอักษร   แล้ว "ใส่หมวก" ให้กับมัน (ออกเสียงว่า แฮ่ท หรือ Hat ซึ่งแปลว่าหมวก) จากทั้ง 3 ตัวอย่างข้างต้น เราอาจเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ดังกล่าวได้ว่า

$\begin{split} \hat{a} x^2 & = 2 x; & \qquad \text{Operator } \hat{a} \equiv \frac{d}{dx} \cr \hat{b} ln(1+x) & = 5 ln(1+x); & \qquad \text{Operator } \hat{b} \equiv 5 \cr \hat{c} x^2 & = 2 x; & \qquad \text{Operator } \hat{c} \equiv x \frac{d^2}{dx^2} \cr \end{split}$

ตัวอย่าง (4)

อ่านว่า "โอเปอร์เรเตอร์ ซี-แฮ่ท เท่ากับ $x \frac{d^2}{dx^2}$ ที่กำลังกระทำกับฟังก์ชัน $x^2$   เกิดเป็นฟังก์ชันอันใหม่ $2 x$"   เช่นนี้เป็นต้น

บางครั้ง   $\hat{a} f(x)$ ก็ไม่จำเป็นต้องกลายเป็นฟังก์ชัน $g(x)$ ที่ต่างไปจากเดิมเสมอไป   เช่น

$\hat{a} e^x = e^x; \qquad \text{Operator } \hat{a} \equiv \frac{d}{dx}$

ตัวอย่าง (5)

ซึ่งได้เป็นฟังก์ชัน $e^{x}$ อยู่เช่นเดิม   จากทั้ง 5 ตัวอย่างข้างต้น เราพอจะเขียนความหมายของ Operator ในทางคณิตศาสตร์ได้ว่า

ตัวดำเนินการ (Operator) คือสิ่งที่เข้าไปกระทำกับฟังก์ชัน $f(x)$ แทนด้วยสัญลักษณ์ $\hat{O} f(x)$

นับเป็นความหมายที่ครอบจักรวาลพอสมควร เกือบทุกอย่างล้วนสามารถเข้าไปกระทำกับฟังก์ชันได้ทั้งสิ้น การหาอนุพันธ์ $\frac{d^2}{dx^2}$   ก็เข้าไปกระทำกับฟังก์ชัน     เอาเลข 5 มาคูณ   ก็เป็นการไปกระทำ กับฟังก์ชัน จึงสามารถเรียกมันว่า Operator

เราสามารถนำ Operator 2-3 อัน มาวางต่อกัน บ้างนำมา บวกกัน ลบกัน เกิดเป็น Operator ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น ยกตัวอย่างเช่น นิยามตัวดำเนินการ $\hat{d} = \hat{a}\hat{b}$   ซึ่งเมื่อไปกระทำกับฟังก์ชัน $f(x)$ จะได้

$\hat{d} f(x) = \hat{a}\hat{b} f(x) = \frac{d}{dx} \left( 5 f(x) \right)$

สังเกตว่าเรานำเลข 5 มาคูณก่อน แล้วค่อยหาอนุพันธ์ เพราะว่าตัวดำเนินการ $\hat{b}$ นั้นอยู่ติดกับ $f(x)$   หรือ   มา เจอ กับ $f(x)$ ก่อน   จึงต้องนำเอา $\hat{b}$ เข้าไปกระทำก่อน   แล้วตัวดำเนินการ $\hat{a}$ ค่อยตามมาทีหลัง

---

ตัวอย่างโจทย์

นิยามตัวดำเนินการ $\hat{d} = \hat{a}\hat{b} - \hat{b}\hat{a}$   เมื่อ $\hat{a} = x, \enspace \hat{b} = \frac{d}{dx}$   จงคำนวณ $\hat{d} x^2$

วิธีทำ

นี้เป็นตัวอย่างการสร้าง Operator ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น มีทั้ง การนำมาวางต่อกัน คือ $\hat{a}\hat{b}$ หรือ $\hat{b}\hat{a}$   และนำมาลบกัน เกิดเป็น $\hat{a}\hat{b} - \hat{b}\hat{a}$

คราวนี้ลองนำ ตัวดำเนินการ $\hat{d}$   มากระทำกับฟังก์ชัน $f(x) = x^2$ และเพื่อความชัดเจน เราจะใช้ วงเล็บ เพื่อให้เห็นลำดับก่อนหลัง ได้ง่ายขึ้น

$\hat{d} f(x) = x \left( \frac{d}{dx} f(x) \right) - \frac{d}{dx} \left( x f(x) \right)$

เมื่อแทน $f(x) = x^2$ จะได้ว่า

$\hat{d} x^2 = x \left( 2 x \right) - \frac{d}{dx} \left( x^3 \right) = 2 x^2 - 3 x^2$

ดังนั้น   $\hat{d} x^2 = -x^2$   ตอบ

---

หรือ แม้แต่สมการ Schrödinger     ก็ยังสามารถเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ ของตัวดำเนินการ กล่าวคือ

$\hat{H}\psi(x) = E \psi(x); \qquad \text{Hamiltonian Operator } \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m}\frac{d^2}{dx^2} + V(x)$

(6)

สมการ (6) นิยามตัวดำเนินการ $\hat{H}$ ว่าประกอบด้วย 2 ส่วน และเมื่อมันเข้าไปกระทำ กับฟังก์ชันคลื่น $\psi(x)$ ก็ต้องกระจายออกเป็น 2 เทอม คือ $- \frac{\hbar^2}{2 m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) + V(x)\psi(x)$   จึงทำให้สมการ   $\hat{H}\psi(x) = E \psi(x)$ มีค่าเทียบเท่าสมการ Schrödinger โดยปริยาย

ตัวดำเนินการ $\hat{H}$ มีชื่อเรียกเป็นสากลว่า Hamiltonian Operator (อ่านว่า ฮา-มิน-โท-เนี่ยน) และเป็น Operator ที่มีความสำคัญและพบบ่อยเป็นอันดับหนึ่งในกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งเราจะได้ขยายความในโอกาสต่อไป

ที่ผ่านมาเราไม่ได้เรียนรู้อะไรเลย !!! เกี่ยวกับฟิสิกส์ เป็นแต่เพียงการนิยาม การตั้งชื่อ หรือออกแบบลวดลายสัญลักษณ์ที่เรียกว่า Operator   หากจะมีประโยชน์อยู่บ้าง คือประหยัดเวลาในการเขียนสมการที่เดิมยืดยาว ให้ย่นย่อเหลือเพียง $\hat{H}\psi(x) = E \psi(x)$ เท่านั้นเอง

บ่อศักย์แบบ Simple Harmonic

ในทางคณิตศาสตร์ เราจะนิยาม Operator ขึ้นมาอย่างไรก็ได้ แต่ไม่แน่นัก ว่านิยามขึ้นมาสุ่มสี่สุ่มห้าแล้ว จะมีประโยชน์ในทางฟิสิกส์   ในหัวข้อต่อไปนี้ เราจะได้ศึกษาอนุภาคที่อยู่ภายใต้อิทธิพลของพลังงานศักย์ที่ยืดหยุ่นคล้ายสปริง เรียกว่า ซิมเปิลฮาร์มอนิก

Simple Harmonic Potential       $\hat{V} = \frac{1}{2} k x^2$     หรือ     $\frac{1}{2} m \omega^2 x^2$

(7)

เมื่อ $k$ แสดงถึงความแข็งของสปริง ในบริบทของกลศาสตร์ควอนตัมที่ประยุกต์กับระบบขนาดเล็ก มันคือโมเดลของพันธะเคมี ที่เม็ดอะตอม เสมือนว่าถูกเชื่อมด้วยสปริงขนาดเล็กอันหนึ่ง ยิ่งพันธะเคมีแข็งแรงมากเท่าไหร่ ค่าคงที่ $k$ ก็สูงมากขึ้นเท่านั้น เช่นโมเลกุล $\text{H}_2$ ซึ่งเป็นพันธะเดี่ยว มีค่า $k = 575.5 \text{ N/m}$ [อ้างอิง 1]

บางครั้ง แทนที่จะเขียนพลังงานศักย์โดยใช้ค่าคงที่ $k$   เราเปลี่ยนมาใช้ค่าคงที่ $m \omega^2$ เมื่อ $m$ คือมวลของอนุภาคที่กำลังสั่นแบบซิมเปิลฮาร์มอนิก และ $\omega$ คือความถี่เชิงมุมของการสั่น ซึ่งในกรณีอย่างง่าย $\omega = \sqrt{k/m}$ ดังที่เคยเรียนมาแล้วในระดับมัธยมปลาย

โจทย์ข้อนี้ เราต้องการหาฟังก์ชันคลื่น $\psi_n(x)$ และ ระดับพลังงาน $E_n$ ซึ่งเป็นผลเฉลยของสมการ Schrödinger ดังต่อไปนี้

$\hat{H}\psi_n(x) = E_n \psi_n(x); \qquad \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$

(8)

มี 2 วิธีในการแก้สมการข้างต้น หนึ่งคือใช้แคลคูลัส เพราะมันเป็นสมการอนุพันธ์ชนิดหนึ่ง ซึ่งมีตรรกะที่พลิกแพลงพอสมควร สองคือใช้ Operator ซึ่งตรงไปตรงมา และเป็นวิธีที่เราจะได้กล่าวถึง ดังต่อไปนี้

Paul Dirac (รางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ปี 1933 ร่วมกับ Erwin Schrödinger)   นับเป็นคนแรก   ที่ใช้วิธี Operator ในการคำนวณฟังก์ชันคลื่นและระดับพลังงานของซิมเปิลฮาร์มอนิก นอกจากนี้ [อ้างอิง 2] Albert Einstein ยังประยุกต์ใช้ ระดับพลังงาน ดังกล่าว ในการศึกษาหาความจุความร้อนของสสาร ดังนั้น สิ่งที่เราจะได้ศึกษาต่อไปนี้   ล้วนเป็นร่องรอยที่อัฉริยภาพของโลกเคยเดินผ่านมาแล้ว แทบทั้งสิ้น   ซื้อตั๋วมาร่วมขบวนนำเที่ยวกับเราสิครับ

นิยาม

ตัวดำเนินการ ขั้นบันได (Ladder Operator)       $\begin{split} \hat{a} & = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( x + \frac{\hbar}{m \omega} \frac{d}{dx} \right) \cr \hat{a}^\dagger & = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( x - \frac{\hbar}{m \omega} \frac{d}{dx} \right) \end{split}$

(9)

ข้างต้น ไม่ใช่การนิยามตัวดำเนินการขึ้นมาสุ่มสี่สุ่มห้า เพราะสมบัติของมันดังต่อไปนี้ มีประโยชน์นำมาแก้โจทย์ Simple Harmonic Potential ได้เป็นอย่างดี

$\hat{H} \hat{a} - \hat{a} \hat{H} = - \hbar \omega \hat{a}$

(10)

คอมมิวเตเตอร์ (Commutator)

โดยทั่วไป   เราไม่สามารถสลับลำดับก่อนหลัง ของตัวดำเนินการได้ตามใจชอบ ยกตัวอย่างเช่น พิจารณา Operator $\hat{O}_1 = x$ และ $\hat{O}_2 = \frac{d}{dx}$     ผลของ $\hat{O}_1 \hat{O}_2$ และ $\hat{O}_2 \hat{O}_1$ ที่ไปกระทำกับฟังก์ชัน $f(x) = x^2$ ก็คือ

$\begin{split} \hat{O}_1 \hat{O}_2 f(x) & = x \left( \frac{d}{dx} f(x) \right) & = 2 x^2 \cr \hat{O}_2 \hat{O}_1 f(x) & = \frac{d}{dx} \left( x f(x) \right) & = 3 x^2 \end{split}$

ในบรรทัดแรก $\hat{O}_2$ เข้าไปเจอกับ $f(x)$ ก่อน จึงต้องหาอนุพันธ์ก่อน   ในบรรทัดที่สอง เราสลับตัวดำเนินการ ทำ ให้ ต้อง คูณ ด้วย $x$ ก่อน แล้วค่อยหาอนุพันธ์ ซึ่งได้ผลลัพธ์ไม่เท่ากัน กับบรรทัดแรก

ดังนั้นเราเขียนเป็นหลักการกว้างๆของ Operator ได้ว่า

โดยทั่วไป       $\hat{O}_1 \hat{O}_2 \ne \hat{O}_2 \hat{O}_1$   หรือ   $\hat{O}_1 \hat{O}_2 - \hat{O}_2 \hat{O}_1 \ne 0$

กล่าวคือ เมื่อสลับลำดับของตัวดำเนินการ จะทำให้ผลลัพธ์ที่ได้ ไม่เหมือนเดิม หรือถ้าเราพลิกการใช้ภาษาสักเล็กน้อย เราบอกว่า โดยทั่วไปแล้ว ผลต่าง $\hat{O}_1 \hat{O}_2 - \hat{O}_2 \hat{O}_1$ มีค่าไม่เป็นศูนย์

คอมมิวเตเตอร์ คือกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ที่หาว่า ผลต่าง $\hat{O}_1 \hat{O}_2 - \hat{O}_2 \hat{O}_1$ มีค่าเป็นเท่าไหร่?   เป็นตัวบ่งบอก ผลที่จะเกิดขึ้นหากเราสลับลำดับก่อนหลังของตัวดำเนินการทั้งสอง แทนด้วยสัญลักษณ์ วงเล็บสี่เหลี่ยม ดังนี้

$[ \hat{O}_1, \hat{O}_2] \equiv \hat{O}_1 \hat{O}_2 - \hat{O}_2 \hat{O}_1$

(11)

สมบัติทางคณิตศาสตร์ของ Ladder Operator ดังสมการ (10) สามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ของคอมมิวเตเตอร์ได้ว่า

$[ \hat{H}, \hat{a}] = - \hbar \omega \hat{a}$

(12)

แน่นอนว่าเรายังคงวนเวียนอยู่กับการใช้สัญลักษณ์ จะอยู่ในรูปสมการ (10) หรือ (12) ก็ย่อมไม่ต่างกันในเนื้อหาสาระ แต่อย่างใด

แต่บางครั้ง การจัดระบบสัญลักษณ์ จะเป็นเครื่องมือชิ้นสำคัญที่ถูกนำมาใช้อธิบายฟิสิกส์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ เช่นการใช้เวคเตอร์ในวิชากลศาสตร์คลาสสิก การใช้เมทริกส์ในวิชาเรขาคณิต เพราะฉะนั้น เราจะยังคงอดทน ประดิษฐ์ประดอยศึกษาสมบัติทางคณิตศาสตร์ของ Commutator ให้ สา แก่ ใจ

สมบัติของ Commutator

1) คอมมิวเตเตอร์ของตัวมันเอง เท่ากับศูนย์ หรือ

$[ \hat{A}, \hat{A}] = 0$

(13)

ข้างต้น มาจากคำนิยามของคอมมิวเตเตอร์ในสมการ (11) นั่นคือ $[ \hat{A}, \hat{A}] = \hat{A}\hat{A} - \hat{A}\hat{A}$ สังเกตว่าเทอมหน้าและเทอมหลังมีค่าเท่ากัน เพราะเป็นตัวดำเนินการเดียวกัน จึงสามารถสลับลำดับก่อนหลังได้ ทำให้ผลลัพธ์ มีค่าเป็นศูนย์

อนึ่ง เวลานำตัวดำเนินการอันเดียวกัน มาวางต่อกันเอง เรามักเขียนอย่างย่อโดยใช้สัญลักษณ์เลขยกกำลัง เช่น   $\hat{A}^2$ แปลว่า $\hat{A}\hat{A}$   คือนำตัวดำเนินการ $\hat{A}$ เข้าไปกระทำติดต่อกัน 2 ครั้ง   หรือ $(\hat{A}\hat{B})^3 = (\hat{A}\hat{B})(\hat{A}\hat{B})(\hat{A}\hat{B})$ เป็นต้น

2) คอมมิวเตเตอร์มีสมบัติการกระจาย

$[ \hat{A}, \hat{B} + \hat{C}] = [ \hat{A}, \hat{B}] + [ \hat{A}, \hat{C}]$

(14)

สมบัติข้อนี้ มาจากนิยามของคอมมิวเตเตอร์ดังสมการ (11) อีกเช่นเคย   เมื่อพิจารณา $[ \hat{A}, \hat{B} + \hat{C}]$ ในตอนแรกเราอาจมองว่า $\hat{B} + \hat{C}$ เป็นตัวดำเนินการเพียงอันเดียวที่เกิดจาก $\hat{B}$ และ $\hat{C}$ มาผสมกันให้ซับซ้อนขึ้น จึงใส่วงเล็บครอบไว้ให้ชัดเจน กล่าวคือ

$[ \hat{A}, (\hat{B} + \hat{C})] = \hat{A} (\hat{B} + \hat{C}) - (\hat{B} + \hat{C})\hat{A}$

ด้านขวามือของสมการ เรากระจายออก แล้วจัดกลุ่มเสียใหม่

$\begin{split} [ \hat{A}, (\hat{B} + \hat{C})] & = \hat{A}\hat{B} + \hat{A}\hat{C} - \hat{B}\hat{A} - \hat{C}\hat{A} \cr & = \underbrace{\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}}_{ [ \hat{A}, \hat{B}]} + \underbrace{\hat{A}\hat{C} - \hat{C}\hat{A}}_{[ \hat{A}, \hat{C}]} \end{split}$

จึงเกิดเป็นสมบัติการกระจาย $[ \hat{A}, \hat{B} + \hat{C}] = [ \hat{A}, \hat{B}] + [ \hat{A}, \hat{C}]$ ดังสมการ (14)

3) ค่าคงที่ภายในคอมมิวเตเตอร์ สามารถดึงออกมาข้างนอกได้

$[ \hat{A}, \alpha \hat{B}] = \alpha [ \hat{A}, \hat{B}]$   เมื่อ $\alpha$ คือค่าคงที่

(15)

เพื่อเข้าใจที่มาของสมบัติข้อนี้ สมมุติค่าคงที่ $\alpha = 5$   จากนิยามของคอมมิวเตเตอร์ $[ \hat{A}, 5 \hat{B}] = \hat{A}(5 \hat{B}) - (5 \hat{B}) \hat{A}$ เนื่องจากเลข 5 เป็นค่าคงที่ จึงมีสมบัติการสลับที่ของการคูณ แปลว่า เราแยกตัวประกอบมันออกมาด้านนอกสุดได้ กลายเป็น $5 (\hat{A}\hat{B} - \hat{B} \hat{A}) = 5 [\hat{A}, \hat{B}]$ ดังสมการ (15) ในที่สุด

4) คอมมิวเตเตอร์ติดลบ เมื่อสลับลำดับภายใน

$[ \hat{A}, \hat{B}] = - [ \hat{B}, \hat{A}]$

(16)

---

การบ้าน

จงพิสูจน์สมบัติในสมการ (16) โดยใช้นิยามของคอมมิวเตเตอร์

---

เพื่อฝึกการนำสมบัติของคอมมิวเตเตอร์ทั้ง 4 แบบ มาใช้ประโยชน์ นักศึกษาควรทำตัวอย่างโจทย์และการบ้าน ต่อไปนี้

---

ตัวอย่างโจทย์

จงแสดงให้เห็นว่า $[5 x + \frac{d}{dx}, 5x - \frac{d}{dx} ] = - 10 [x, \frac{d}{dx}]$

วิธีทำ

เพื่อให้ง่ายต่อการมอง เราอาจลองกำหนดให้ $\hat{A} = 5x$ และ $\hat{B} = \frac{d}{dx}$   ทำให้โจทย์ข้างต้น อยู่ในรูปของ

$[\hat{A} + \hat{B}, \hat{A} - \hat{B} ]$

จากนั้นใช้สมบัติการกระจาย ดังสมการ (14) เพื่อแตกออกเป็น 4 เทอม ดังนี้

$\begin{split} [\hat{A} + \hat{B}, \hat{A} - \hat{B} ] & = [\hat{A}, \hat{A}] & - [\hat{A}, \hat{B}] + [\hat{B}, \hat{A}] & - [\hat{B}, \hat{B}] \cr & = \quad 0 & - [\hat{A}, \hat{B}] + [\hat{B}, \hat{A}] & - \quad 0 \cr & = \quad & - [\hat{A}, \hat{B}] - [\hat{A}, \hat{B}] & \quad \end{split}$

ในบรรทัดที่สอง เทอม $[\hat{A}, \hat{A}]$ และ $[\hat{B}, \hat{B}]$ เท่ากับศูนย์ เพราะเป็น Commuator ของตัวมันเอง   ในบรรทัดที่สาม เราสลับ $[\hat{B}, \hat{A}]$ ให้เป็น $[\hat{A}, \hat{B}]$ พร้อมเติมเครื่องหมายลบเข้าไปเพิ่ม ตามเอกลักษณ์ในสมการ (16)

มีผลให้ $[\hat{A} + \hat{B}, \hat{A} - \hat{B} ] = - 2 [\hat{A}, \hat{B}]$   และเมื่อแทน $\hat{A} = 5x; \enspace \hat{B} = \frac{d}{dx}$ กลับเข้าไป จะได้ว่า

$[5 x + \frac{d}{dx}, 5x - \frac{d}{dx} ] = - 2 [5x, \frac{d}{dx}]$

ขั้นสุดท้าย คือดึงเลข 5 ซึ่งเป็นค่าคงที่ ออกมาด้านนอก ดังเอกลักษณ์ในสมการ (15) ซึ่งเมื่อดึงออกมาแล้วจะคูณกับเลข 2 ที่รออยู่ กลายเป็น 10

$[5 x + \frac{d}{dx}, 5x - \frac{d}{dx} ] = - 10 [x, \frac{d}{dx}]$   ตอบ

---

การกระจายของ Operator หรือ Commutator มีลักษณะคล้ายการกระจายพนุนาม (Polynomial) เมื่อครั้งเราเรียนมัธยมปลายเป็นอย่างมาก พิจารณาตัวเลข $a,b,c,d$

พหุนาม	$\quad (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
ตัวดำเนินการ	$(\hat{A}+\hat{B})(\hat{C}+\hat{D}) = \hat{A}\hat{C} + \hat{A}\hat{D} + \hat{B}\hat{C} + \hat{B}\hat{D}$
คอมมิวเตเตอร์	$[\hat{A}+\hat{B}, \hat{C}+\hat{D}]= [\hat{A},\hat{C}] + [\hat{A},\hat{D}] + [\hat{B},\hat{C}] + [\hat{B},\hat{D}]$

แต่สิ่งที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง และต้องระวังให้มาก ก็คือ Operator หรือ Commutator จะสลับลำดับก่อนหลังโดยพลการไม่ได้ ต่างจากพหุนามซึ่งเป็นเพียงตัวเลข ที่เราจะสลับหน้าหลังได้โดยไม่ต้องกังวล ยกตัวอย่างเช่น

$\begin{split} (a+b)(c+d) & = ac + ad + bc + bd \cr & = ca + ad + bc + bd \cr \cr (\hat{A}+\hat{B})(\hat{C}+\hat{D}) & = \hat{A}\hat{C} + \hat{A}\hat{D} + \hat{B}\hat{C} + \hat{B}\hat{D} \cr & \ne \color{red}{\hat{C}\hat{A}} + \hat{A}\hat{D} + \hat{B}\hat{C} + \hat{B}\hat{D} \cr \cr [\hat{A}+\hat{B}, \hat{C}+\hat{D}] & = [\hat{A},\hat{C}] + [\hat{A},\hat{D}] + [\hat{B},\hat{C}] + [\hat{B},\hat{D}] \cr & \ne \color{red}{ [\hat{C},\hat{A}] } + [\hat{A},\hat{D}] + [\hat{B},\hat{C}] + [\hat{B},\hat{D}] \end{split}$

ข้างต้นจะเห็นว่า ในกรณีพหุนาม เราสามารถสลับ $ac$ เป็น $ca$ ก็ยังคงให้ผลลัพธ์เท่าเดิม เพราะเป็นเพียงตัวเลข ย่อมมีสมบัติการสลับที่ของการคูณ   ในขณะที่กรณีของตัวดำเนินการหรือคอมมิวเตเตอร์ การสลับ $\hat{A} \leftrightarrow \hat{C}$ จะทำให้ผลลัพธ์ผิดพลาด

ดังนั้น เมื่อทำการกระจาย Operator และ Commutator จะต้องระวังอย่าให้ลำดับก่อนหลัง ผิดเพี้ยนไปจากเดิม

5) Operator ภายในคอมมิวเตเตอร์ สามารถดึงออกมาข้างนอกได้

$[ \hat{A}, \hat{B}\hat{C}] = [ \hat{A}, \hat{B}]\hat{C} + \hat{B} [ \hat{A}, \hat{C}]$

(17)

ในเอกลักษณ์ข้างต้น จากเดิมที่มีตัวดำเนินการ $\hat{B}\hat{C}$ พัวพันกันอยู่ภายในคอมมิวเตเตอร์ กลายเป็นว่าสามารถถอดมันออกมาได้ เหลือเพียง $\hat{B}$ หรือ $\hat{C}$ ตัวใดตัวหนึ่งเท่านั้น ที่อยู่ภายใน   เอกลักษณ์ข้อนี้อาจมีประโยชน์อยู่บ้างในการลดรูปให้ง่ายขึ้น ซึ่งเราจะนำมาใช้ในโอกาสต่อไป

วิธีการพิสูจน์ เริ่มจากนิยามของคอมมิวเตเตอร์

$[ \hat{A}, \hat{B}\hat{C}] = \hat{A}\hat{B}\hat{C} - \hat{B}\hat{C}\hat{A}$

จากนั้น บวก $\color{blue}{\hat{B}\hat{A}\hat{C}}$ เข้าแล้วลบออก ทางด้านขวามือของสมการ

$\begin{split} [ \hat{A}, \hat{B}\hat{C}] &= \hat{A}\hat{B}\hat{C} - \color{blue}{\hat{B}\hat{A}\hat{C}} & + \color{blue}{\hat{B}\hat{A}\hat{C}} - \hat{B}\hat{C}\hat{A} \cr &= (\hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A})\hat{C} & + \hat{B}(\hat{A}\hat{C} - \hat{C}\hat{A}) \cr & = \qquad \enspace [\hat{A}, \hat{B}]\hat{C} & + \hat{B}[\hat{A},\hat{C}] \end{split}$

ในบรรทัดที่สอง พิจารณาสองเทอมแรก เราดึงเอาตัวร่วม $\hat{C}$ ออกมาข้างนอกวงเล็บ นี้สามารถทำได้ เพราะยังคงตำแหน่งของตัวดำเนินการ $\hat{C}$ ไว้ด้านหลัง ดังที่ได้กล่าวมาแล้วว่า การกระจายตัวดำเนินการนั้น ต้องคงลำดับก่อนหลังของมันไว้ไม่ให้ผิดเพี้ยนไปจากเดิม   ในสองเทอมหลัง เราดึงเอาตัวร่วม $\hat{B}$ ออกมา ซึ่งเมื่อดึงออกมาต้องวางไว้ข้างหน้า เช่นเดิม

สิ่งที่เหลืออยู่ภายในวงเล็บ ก็คือคอมมิวเตเตอร์นั่นเอง จึงได้ความสัมพันธ์ ดังสมการ (17)

---

ตัวอย่างโจทย์

จงแสดงให้เห็นว่า

$[x, \frac{d}{dx} ] = - 1$

(18)

วิธีทำ

เอกลักษณ์ข้อนี้มีความสำคัญอย่างมากในทางฟิสิกส์ ถึงกับโยงไปถึงหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก ว่าด้วยการวัดตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาค แต่ในขั้นนี้ เราจะมองในมุมของคณิตศาสตร์ไปก่อน

เริ่มด้วยการลองนำคอมมิวเตเตอร์ ไปกระทำกับฟังก์ชัน $f(x)$ ใดๆ

$[x, \frac{d}{dx} ] f(x) = x \left( \frac{d}{dx} f(x) \right) - \frac{d}{dx} \left( x f(x) \right)$

สังเกตการใช้วงเล็บด้านขวามือของสมการ เพื่อเพิ่มความระมัดระวังในลำดับก่อนหลัง   เทอมที่สอง เราใช้กฎของแคลคูลัส $\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$ กล่าวคือ $\frac{d}{dx} \left( x f(x) \right) = x \left( \frac{d}{dx} f(x) \right) + f(x) \underbrace{\left( \frac{d}{dx}x \right)}_{=1}$ มีผลให้

$[x, \frac{d}{dx} ] f(x) = x \left( \frac{d}{dx} f(x) \right) - x \left( \frac{d}{dx}f(x) \right) - f(x)$

สองเทอมแรก หักล้างกันเอง เหลือเพียง

$[x, \frac{d}{dx} ] f(x) = - f(x)$

วิเคราะห์สมการข้างต้นให้ละเอียด ด้านซ้ายมือ คือคอมมิวเตเตอร์กระทำกับ $f(x)$   ด้านขวามือบอกเราว่า การกระทำอันนี้ เทียบเท่ากับเอาเลข $-1$ เข้ามาคูณ   ดังนั้น   $[x, \frac{d}{dx} ]$ ก็มีค่าเทียบเท่ากับตัวดำเนินการ $-1$ นั่นเอง

$[x, \frac{d}{dx} ] = - 1$   ตอบ

---

---

ตัวอย่างโจทย์

จงใช้เอกลักษณ์ของคอมมิวเตเตอร์ในสมการ (17) แสดงให้เห็นว่า

$[x, \frac{d^2}{dx^2} ] = - 2 \frac{d}{dx}$

(19)

วิธีทำ

อันที่จริงเราสามารถใช้กฎของแคลคูลัส $\frac{d}{dx}(uv) = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$ เพื่อทำโจทย์ข้อนี้ได้ นักศึกษาควรลองเส้นทางนี้เมื่อมีเวลาว่าง แต่ในตัวอย่างนี้เราจะนำเอกลักษณ์ $[ \hat{A}, \hat{B}\hat{C}] = [ \hat{A}, \hat{B}]\hat{C} + \hat{B} [ \hat{A}, \hat{C}]$ ในสมการ (17) มาใช้ประโยชน์

นิยามตัวดำเนินการ $\hat{A} = x, \enspace \hat{B} = \frac{d}{dx}, \enspace \hat{C} = \frac{d}{dx}$ สังเกตว่า $\hat{B}\hat{C} = \frac{d}{dx}\frac{d}{dx} = \frac{d^2}{dx^2}$ ดังนั้น จากโจทย์

$\begin{split} [x, \frac{d^2}{dx^2} ] & = [\hat{A}, \hat{B}\hat{C}] \cr & = [ \hat{A}, \hat{B}]\hat{C} + \hat{B} [ \hat{A}, \hat{C}] \cr & = [x, \frac{d}{dx}]\frac{d}{dx} + \frac{d}{dx}[x, \frac{d}{dx}] \end{split}$

อาศัยผลลัพธ์จากตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา $[x, \frac{d}{dx} ] = - 1$ ดังนั้น $\underbrace{[x, \frac{d}{dx}]}_{-1}\frac{d}{dx} + \frac{d}{dx}\underbrace{[x, \frac{d}{dx}]}_{-1} = - 2 \frac{d}{dx}$ จึงสรุปได้ว่า

$[x, \frac{d^2}{dx^2} ] = - 2 \frac{d}{dx}$   ตอบ

---

---

การบ้าน

จงพิสูจน์เอกลักษณ์ต่อไปนี้

$[x^2, \frac{d}{dx} ] = - 2 x$

(20)

---

จึงนับว่า สา แก่ ใจ พอสมควร สำหรับการศึกษาสมบัติของคอมมิวเตเตอร์ ซึ่งนอกจากโจทย์ซิมเปิลฮาร์มอนิกในบทนี้แล้ว เราจะได้ใช้สมบัติเหล่านี้เพื่อศึกษาการหมุนของวัตถุ เช่น อิเล็กตรอนที่หมุนอยู่รอบนิวเคลียส หรือ โมเลกุลที่หมุนควงรอบแกนกลางของพันธะเคมี ในบทที่ 4 กันต่อไป

เป็นการดีที่เราจะได้สรุปสมบัติเหล่านี้ เพื่อง่ายต่อการนำมาใช้งาน ในอนาคต

นิยาม	$[ \hat{A}, \hat{B}] \equiv \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A}$
ตัวดำเนินการเดียวกัน	$[ \hat{A}, \hat{A}] = 0$
สมบัติการกระจาย	$[ \hat{A}, \hat{B} + \hat{C}] = [ \hat{A}, \hat{B}] + [ \hat{A}, \hat{C}]$
ดึงค่าคงที่ ออกมา	$[ \hat{A}, \alpha \hat{B}] = \alpha [ \hat{A}, \hat{B}]$   เมื่อ $\alpha$ คือค่าคงที่
สลับลำดับภายใน	$[ \hat{A}, \hat{B}] = - [ \hat{B}, \hat{A}]$
ดึงตัวดำเนินการ ออกมา	$[ \hat{A}, \hat{B}\hat{C}] = [ \hat{A}, \hat{B}]\hat{C} + \hat{B} [ \hat{A}, \hat{C}]$
	$[x, \frac{d}{dx} ] = - 1$
	$[x, \frac{d^2}{dx^2} ] = - 2 \frac{d}{dx}$
	$[x^2, \frac{d}{dx} ] = - 2 x$

สุดท้าย วกกลับมาที่ระบบซิมเปิลฮาร์มอนิกส์ เราจะได้พิสูจน์สมบัติของ Ladder Operator ที่ว่า $[ \hat{H}, \hat{a}] = - \hbar \omega \hat{a}$ ดังในสมการ (12)

พิจารณา $[ \hat{H}, \hat{a}]$ เมื่อ Hamiltonian $\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2 m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ และ Ladder Operator $\hat{a} = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} ( x + \frac{\hbar}{m \omega} \frac{d}{dx} )$

$[ \hat{H}, \hat{a}] = [- \frac{\hbar^2}{2 m}\frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \enspace , \enspace \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}}x + \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} \frac{d}{dx} ]$

ใช้สมบัติการกระจาย แตกออกเป็น 4 คอมมิวเตเตอร์ จากนั้น ดึงค่าคงที่ ออกมาด้านนอก

$\begin{split} [ \hat{H}, \hat{a}] = & - \frac{\hbar^2}{2 m} \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \enspace [\frac{d^2}{dx^2}, x] - \frac{\hbar^2}{2 m} \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} \enspace [\frac{d^2}{dx^2},\frac{d}{dx}] \cr & + \frac{1}{2} m \omega^2 \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \enspace [x^2, x] + \frac{1}{2} m \omega^2 \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} \enspace [x^2, \frac{d}{dx}] \end{split}$

คอมมิวเตเตอร์ $[\frac{d^2}{dx^2},\frac{d}{dx}] =0$ และ $[x^2, x] =0$ เพราะเป็นตัวดำเนินการชนิดเดียวกันอยู่ภายใน อาทิเช่น $x^2 x - x x^2 = x^3 - x^3 = 0$ จึงตัดทิ้งได้   เหลือเพียง $[\frac{d^2}{dx^2}, x]$ และ $[x^2, \frac{d}{dx}]$ โชคดีที่เราคำนวณไว้เรียบร้อยแล้ว ในตารางข้างต้น

$\begin{split} [ \hat{H}, \hat{a}] = & - \frac{\hbar^2}{2 m} \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \enspace \underbrace{ [\frac{d^2}{dx^2}, x] }_{ 2 \frac{d}{dx}} + \frac{1}{2} m \omega^2 \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} \enspace \underbrace{ [x^2, \frac{d}{dx}] }_{- 2 x} \cr = & -\hbar \omega \left( \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}}\frac{d}{dx} + \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} x \right) \end{split}$

ในบรรทัดที่สอง เราดึงเอา $- \hbar \omega$ ออกมาไว้นอกวงเล็บ พร้อมจัดรูปค่าคงที่อยู่ภายใน   จะเห็นว่า ที่เหลืออยู่ในวงเล็บคือ Ladder Operator $\hat{a}$   ดังนั้น

$[ \hat{H}, \hat{a}] = - \hbar \omega \hat{a}$

ในลำดับต่อไป เราจะใช้สมบัติทางคณิตศาสตร์ข้างต้น เพื่อคำนวณระดับพลังงานและฟังก์ชันคลื่น ของบ่อศักย์ซิมเปิลฮาร์มอนิก

ฟิสิกส์ของตัวดำเนินการขั้นบันได

พิจารณา ฟังก์ชันคลื่น $\psi(x)$   ซึ่งเป็นผลเฉลยของสมการ Schrödinger กล่าวคือ $\hat{H} \psi(x ) = E\psi(x)$ เราสนใจว่า

หาก Ladder Operator $\hat{a}$ เข้ามากระทำ เกิดเป็น $\hat{a}\psi(x) = g(x)$ แล้ว $g(x)$ จะมีสมบัติ แตก ต่าง จาก เดิม อย่างไรบ้าง?

ลองศึกษาพลังงานของ $g(x)$ โดยนำเอาตัวดำเนินการ Hamiltonian $\hat{H}$ เข้าไปกระทำ

$\hat{H} \color{blue}{g(x)} = \hat{H} \color{blue}{\hat{a}\psi(x)}$

(21)

เราเจอทางตัน !!! แม้รู้ว่า $\hat{H} \psi(x ) = E\psi(x)$ แต่ในสมการ (21) $\hat{H}$ ไม่ได้กำลังกระทำกับ $\psi(x)$ เพราะมี $\hat{a}$ คั่นอยู่ตรงกลาง

ทำอย่างไร   จึงจะสลับเอา $\hat{H}$ เข้าไปประกบ $\psi(x)$ !?

คำตอบคือ คอมมิวเตเตอร์   เพราะเราทราบว่า $[ \hat{H}, \hat{a}] = \hat{H}\hat{a} - \hat{a}\hat{H} = - \hbar \omega \hat{a}$ จึงสามารถแทน $\hat{H}\hat{a} = \hat{a}\hat{H} - \hbar \omega \hat{a}$ เข้าไปในสมการ (21)

$\begin{split} \hat{H}g(x) & = \hat{H}\hat{a}\psi(x) \cr & = (\hat{a}\hat{H} - \hbar \omega \hat{a}) \psi(x) \cr & = \hat{a}\underbrace{\hat{H}\psi(x)}_{E \psi(x)} - \hbar \omega \hat{a} \psi(x) \end{split}$

บรรทัดที่สาม หลังจากกระจาย $\psi(x)$ เข้าในวงเล็บ เราก็บรรลุเป้าหมาย !!! คือสลับเอา $\hat{H}$ เข้าไปกระทำกับ $\psi(x)$ จึงจัดรูปต่อไปได้ว่า

$\begin{split} \hat{H}g(x) & = E \hat{a} \psi(x) - \hbar \omega \hat{a} \psi(x) \cr & = (E - \hbar \omega ) \underbrace{\hat{a} \psi(x)}_{g(x)} \end{split}$

ในบรรทัดแรก เราดึงค่าคงที่ $E$ มาวางไว้ข้างหน้า จากนั้นแยกเอา $\hat{a}\psi(x)$ ออกมานอกวงเล็บ   สุดท้าย จะได้สมการที่บอกว่า $g(x)$ มีพลังงาานเป็นเท่าใด

$\hat{H}g(x) = (E-\hbar \omega) g(x)$

เพื่อตีความข้างต้น สังเกตโครงสร้างของสมการ เทียบกับของ $\psi(x)$

$\hat{H}\psi(x) = E\psi(x)$

สิ่งที่เหมือนกัน คือ ทั้งคู่ อยู่ในรูปสมการ Schrödinger ที่ด้านซ้ายมือมีตัวดำเนินการ $\hat{H}$ เข้าไปกระทำ   และด้านขวามือ มีค่าคงที่ คูณ อยู่ และค่าคงที่อันนี้เอง ก็คือ พลังงาน

สิ่งที่ต่างกัน ในกรณีของ $\psi(x)$ มีพลังงาน $E$   ในขณะที่กรณี $g(x)$   มีพลังงาน ลด ลง เหลือ $E - \hbar \omega$

ฟังก์ชัน $g(x)$ คืออะไร? มันคือผลจากการที่ ตัวดำเนินการ $\hat{a}$ เข้าไปกระทำกับ $\psi(x)$   เราจึงปะติดปะต่อผลของการสืบสวนนี้ได้ว่า

Ladder Operator $\hat{a} = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( x + \frac{\hbar}{m \omega} \frac{d}{dx} \right)$ เมื่อกระทำกับ $\psi(x)$ จะเกิดเป็นสถานะใหม่ $\hat{a}\psi(x)$ ซึ่งมีพลังงานลดลงจากเดิม $\hbar \omega$

สถานะพื้นของซิมเปิลฮาร์มอนิก

พิจารณากรณีพิเศษที่ $\psi(x)$ เป็น สถานะพื้น แทนด้วยสัญลักษณ์ $\psi_0(x)$   คือ มีพลังงานต่ำสุด คือ ไม่มีสถานะใด ต่ำลงไปกว่านี้อีกแล้ว

เมื่อผนวกกับฟิสิกส์ของ Ladder Operator ที่ผ่านมา เราเขียนเป็นสมการได้ว่า

$\begin{split} \hat{a} \psi_0(x) & = 0 \cr \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} x \psi_0(x) + \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} \frac{d}{dx} \psi_0(x) & = 0 \end{split}$

ทำไมจึงเป็นศูนย์ !? เพราะหน้าที่ของ $\hat{a}$ คือทำให้ เกิดสถานะใหม่ ที่มีพลังงานต่ำลงมา   ก็ในเมื่อ โดยนิยามแล้ว $\psi_0(x)$ เป็นสถานะสุดท้าย   $\hat{a}\psi_0(x)$ ย่อมไม่อาจทำให้เกิดสถานะใหม่ที่มีพลังงานต่ำลงมาได้อีก จึงต้องเท่ากับศูนย์

สมการข้างต้น ยังมีประโยขน์ ในการหารูปแบบทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชัน $\psi_0(x)$ เพราะเมื่อจัดรูปสักเล็กน้อย

$\frac{d}{dx} \psi_0(x) = - \frac{m \omega}{\hbar} x \psi_0(x)$

มันคือสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ธรรมดา นี่เอง   ฟังก์ชัน $\psi_0(x)$ ที่ อนุพันธ์ ของ มัน คือ $x$ คูณกับตัวมันเอง ก็เห็นจะเป็น $e^{-x^2 }$ ในทำนองที่ว่า $\frac{d}{dx} e^{-x^2} = -2 x e^{-x^2}$   ซึ่งเมื่อนำค่าคงที่ $\frac{m \omega}{\hbar}$ มาพิจารณาร่วมด้วย จะได้

$\psi_0(x) = A e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2}$

เรายังติดตัวแปร $A$ ค้างไว้ เพราะต้องไม่ลืมสมบัติ Normalizaation ของฟังก์ชันคลื่น ที่ความน่าจะเป็นสุทธิต้องเป็น 1

$1 = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_0^2(x) dx = A^2 \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{m \omega}{\hbar} x^2} dx$

เพื่อคำนวนผลการอินทิเกรต เราใช้เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร $y \equiv \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x$ ทำให้ $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{m \omega}{\hbar} x^2} dx = \sqrt{\frac{\hbar}{m \omega}} \underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy}_{\sqrt{\pi}}$ หรือ

$A = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4}$

สุดท้าย   ได้ฟังก์ชันคลื่นในสถานะพื้น ที่สมบูรณ์ ก็คือ

Simple Harnomic Potential       $\psi_0(x) = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2}$

ระดับพลังงาน

แทน $\psi_0(x)$ เข้าไปในสมการ Schrödinger

$-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2}{dx^2} \psi_0(x)+ \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \psi_0(x) = E_0 \psi_0(x)$

เมื่อคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง

$\begin{split} -\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2}{dx^2} \psi_0(x) & = \frac{\hbar \omega}{2}\left(1 - x^2 \frac{m \omega}{\hbar} \right) \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} \cr & = \frac{\hbar \omega}{2} \psi_0(x) - \frac{1}{2} m \omega^2 x ^2 \psi_0(x) \end{split}$

จึงแทนกลับเข้าไปในสมการ Schrödinger อีกครั้ง

$\require{cancel} \begin{split} \frac{\hbar \omega}{2} \psi_0(x) - \cancel{\frac{1}{2} m \omega^2 x ^2 \psi_0(x)} + \cancel{\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 \psi_0(x)} & = E_0 \psi_0(x) \cr \frac{\hbar \omega}{2} \psi_0(x) & = E_0 \psi_0(x) \end{split}$

ดังนั้น

ระดับพลังงานของสถานะพื้น $E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega$

เมื่อผนวกกับความหมายของ Ladder Operator $\hat{a}$ ที่ทำให้พลังงานของสถานะต่ำลงมาทีละขั้น ทีละขั้น คราวละ $\hbar \omega$ จนมาถึงขั้นสุดท้าย $E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega$   จากนั้นคิดย้อนกลับ ขึ้นไปข้างบน

$\begin{split} E_0 & = \frac{1}{2} \hbar \omega \cr E_1 & = E_0 + \hbar \omega = (1+\frac{1}{2}) \hbar \omega \cr E_2 & = E_1 + \hbar \omega = (2+\frac{1}{2}) \hbar \omega \cr E_3 & = E_2 + \hbar \omega = (3+\frac{1}{2}) \hbar \omega \end{split}$

สังเกตแพทเทิร์นที่เกิดขึ้นซ้ำๆกันข้างต้น เราเห็นว่า

Simple Harnomic Potential       $E_n = (n+\frac{1}{2})\hbar \omega$

สถานะกระตุ้น

ที่จริงแล้วในตอนต้น เรานิยาม Ladder Operator อยู่ 2 อัน

$\begin{split} \hat{a} & = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( x + \frac{\hbar}{m \omega} \frac{d}{dx} \right) \cr \hat{a}^\dagger & = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( x - \frac{\hbar}{m \omega} \frac{d}{dx} \right) \end{split}$

ในกรณี $\hat{a}$ เราได้ศึกษาความหมายทางฟิสิกส์ของมันมาพอสมควร และนำมาประยุกต์ใช้คำนวณฟังก์ชันคลื่น $\psi_0(x )$ และระดับพลังงาน $E_0$ ของสถานะพื้น ดังที่ผ่านมา

แต่ในกรณี $\hat{a}^\dagger$ มีความหมายทางฟิสิกส์ แตกต่าง กันอย่างไร? เราจะซ่อนคำตอบไว้ ในการบ้านต่อไปนี้

---

การบ้าน

จงใช้สมบัติของคอมมิวเตเตอร์ เพื่อพิสูจน์ว่า $[\hat{H}, \hat{a}^\dagger] = \hbar \omega \hat{a}^\dagger$ จากนั้นใช้ลำดับของตรรกะ เพื่อแสดงว่า

Ladder Operator $\hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( x - \frac{\hbar}{m \omega} \frac{d}{dx} \right)$ เมื่อกระทำกับ $\psi(x)$ จะเกิดเป็นสถานะใหม่ $\hat{a}^\dagger\psi(x)$ ซึ่งมีพลังงานเพิ่มขึ้นจากเดิม $\hbar \omega$

---

กล่าวอีกนัยหนึ่ง

$\hat{a}^\dagger \psi_n(x) \rightarrow \psi_{n+1}(x)$

นั่นคือ $\hat{a}^\dagger$   ทำให้สถานะไปอยู่ในชั้นพลังงานที่สูงขึ้น เราสามารถใช้สมบัติอันนี้ สร้างสถานะกระตุ้น ของระบบขึ้นมาได้

$\psi_1(x) = A \hat{a}^\dagger \psi_0(x)$

ด้านขวามือ คือ $\hat{a}^\dagger \psi_0(x)$ ซึ่งจะสร้างสถานะ $\psi_1(x)$ ขึ้นมา แต่เราติดตัวแปร $A$ คูณค้างไว้อีกเช่นเคย เพราะต้องบังคับให้ฟังก์ชัน $\psi_1(x)$ มีสมบัติการ Normailzation จึงจะสมบูรณ์   แต่ก่อนอื่น   แทน $\psi_0(x) = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2}$ เข้าไปในสมการข้างต้น

$\begin{split} \psi_1(x) & = A \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( x \psi_0(x) - \frac{\hbar}{m \omega} \frac{d}{dx} \psi_0(x) \right) \cr & = A \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \left( x e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} - \frac{\hbar}{m \omega} (-1) \frac{m \omega}{\hbar} x e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} \right) \cr & = A \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} 2 x e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} \end{split}$

หาค่า $A$ ได้จากเงื่อนไขการ Normalization

$1 = \int_{-\infty}^{+\infty}\psi_1^2(x) dx = A^2\frac{m \omega}{2 \hbar} \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/2} \underbrace{ \int_{-\infty}^{+\infty} 4 x^2 e^{-\frac{m \omega}{\hbar} x^2} }_{\sqrt{\frac{\pi \hbar}{m \omega}} \frac{2 \hbar}{m \omega}} dx$

กลายเป็นว่า $A = 1$ จึงได้ฟังก์ชันคลื่นในสถานะกระตุ้น ที่สมบูรณ์ก็คือ

Simple Harnomic Potential       $\psi_1(x) = \sqrt{\frac{m \omega}{2 \hbar}} \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} 2 x e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2}$

---

การบ้าน

จงตรวจสอบว่า $A = 1$ ในกรณี $\psi_1(x)$

บอกใบ้ ใช้เทคนิคการเปลี่ยนตัวแปร และ $\int_{-\infty}^{+\infty}y^2 e^{-y^2} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

---

ฟังก์ชันคลื่นในสถานะกระตุ้นที่สูงขึ้น ก็คำนวณได้จากแนวคิดเดียวกัน คืออาศัยสมบัติของ Ladder Operator $\hat{a}^\dagger \psi_n(x) \rightarrow \psi_{n+1}(x)$ เพื่อไต่บันได จาก $\psi_1(x)$ ขั้นไป $\psi_2(x)$ ขึ้นไป $\psi_3(x)$ ทีละขั้น   ทั้งนี้ต้องไม่ลืมติดตัวแปร $A$ คูณค้างไว้ เพื่อบังคับสมบัติการ Normalization เช่นที่ผ่านมา

เราจะได้สรุป รูปแบบทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันคลื่นเหล่านี้ ทิ้งไว้เป็นหน้าที่ของบัณฑิตพึงฝึกและศึกษา ด้วยตนเอง

$\begin{split} \psi_0(x) & = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} \cr \psi_1(x) & = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \sqrt{2} y e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} \cr \psi_2(x) & = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{2}} (2 y^2 -1 ) e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} \cr \psi_3(x) & = \left( \frac{m \omega}{\pi \hbar} \right)^{1/4} \frac{1}{\sqrt{3}} (2 y^3 -3 y ) e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^2} \cr \end{split}$

เมื่อ นิยาม $y \equiv \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}} x$ เพื่อความกระชับของสมการ

---

การบ้าน

จงใช้สมบัติของคอมมิวเตเตอร์ พิสูจน์ความสัมพันธ์ต่อไปนี้

$\begin{split} \text{1)} & \quad [\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1 \cr \text{2)} & \quad \hat{H} = \hbar \omega (\hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2}) \cr \text{3)} & \quad \hat{a}^\dagger \hat{a} \psi_n(x) = n \psi_n(x) \cr \end{split}$

---

สรุป

หัวข้อที่ผ่านมา มีรูปภาพประกอบอยู่เป็นจำนวนมาก หากแต่เป็นมโนภาพที่นักศึกษาจะต้องจินตนาการขึ้นเอง บ่อศักย์ซิมเปิลฮาร์มอนิก $V(x) \sim x^2$ คือกราฟพาราโบลา ค่อยโก่ง โค้งงอนขึ้นไปไม่สิ้นสุด   เมื่อเจอฟังก์ชันคลื่น $\psi_0(x) \sim e^{-x^2}$ พลันมองเห็นภาพ เป็นกราฟระฆังคว่ำ   ขึ้นมาในห้วงของความคิด

อันที่จริง วิธีที่เลวร้ายที่สุดในการเรียนฟิสิกส์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในวิชาฟิสิกส์เบื้องต้น คือการมุ่งไปที่ตัวแปร x, y, z แทนตัวเลขในสูตรและคิดคำนวณหาผลลัพธ์ สิ่งเหล่านี้ตามมาทีหลัง และเราต้องปลูกฝังให้นักเรียนรู้ว่า คณิตศาสตร์ตามมาทีหลัง

ผม จะยกตัวอย่างในมุมของนักฟิสิกส์ทฤษฎีคนหนึ่ง ที่คลุกคลีอยู่กับสาขากลศาสตร์ควอนตัมในระดับอะตอมหรือโมเลกุล หากคุณเดินมาเงียบๆแอบดูผมในขณะทำงาน จะเห็นสมการบนกระดานเต็มไปหมด ถ้าถามว่าเห็นอะไรอยู่บนกระดาน ผมจะตอบว่านี้คืออิเล็กตรอนกำลังเคลื่อนที่ มันผลักกับอิเล็กตรอนอีกตัว ฯลฯ

แม้มือจะเขียนสมการ แต่ใจ จินตนาการถึงสิ่งที่เกิดขึ้น มันเหมือนกับเส้นที่ขีดเขียนคล้ายสมการอยู่นั้น ผุดขึ้นมามีชีวิต!

ก็ นี่ มิ ใช่ การอ่านนิยายหรอกหรือ? ในขณะที่สายตากวาดมองลายหมึกบนกระดาษ แต่ใจคุณวาด เป็นภาพขึ้นให้เห็น มันน่าแปลกมากนะ ที่ตัวอักษรซึ่งหยุดนิ่งบนผืนกระดาษ 2 มิติ กลับกลาย ขยายเป็นมโนภาพเคลื่อนไหวใน 3 มิติ

ผมไม่ทราบว่าคุณเป็นแฟนนิยายกำลังภายในเหมือนผมหรือเปล่า แต่รับรองว่า เพลงมวยของเล็กเซียวหงส์ในจินตนาการของผม ลึกล้ำกว่าภาพยนตร์ไม่ว่าสมัยใดที่สร้างขึ้น อีกทั้งแม่นางที่ปรากฏในมโนคติขณะอ่านนวนิยาย ก็ไม่มีหญิงผู้ใดงดงามเสมอเหมือน (ยกเว้นหลิวอี้เฟย แต่นั่นไว้ถกกันทีหลัง)

ประเด็นก็คือว่า สมัยนี้เรามักสอนฟิสิกส์เบื้องต้นให้นักเรียน คล้ายกับให้เขาอ่านนิยายพอให้ออกเสียงเป็นคำๆ เพียงลายหมึกที่เห็นอยู่ต่อหน้า โดยไม่จำเป็นต้องเรียงร้อยแต่ละคำขึ้นเป็นประโยคที่ซ่อนความหมายอยู่ภายใน ไม่จำเป็นต้องโยงไปเห็นภาพของสิ่งที่เกิดขึ้นจริง ซึ่งผมว่า น่าเสียดายมากเลยทีเดียว

ในหัวข้อนี้เราได้เรียนรู้ Operator ที่เข้าไปกระทำกับฟังก์ชัน กลายเป็นฟังก์ชันอันใหม่เกิดขึ้นมา ยกตัวอย่างเช่น Ladder Operator $\hat{a}\psi_n(x) \rightarrow \psi_{n-1}(x)$

เราใช้ความหมายทางฟิสิกส์ของมัน เพื่อคำนวณฟังก์ชันคลื่น $\psi_n(x)$ และพลังงาน $E_n = (n+\frac{1}{2})\hbar \omega$ ของระบบซิมเปิลฮาร์มอนิก $V(x) = \frac{1}{2} m \omega x^2$

ในขณะเดียวกัน ก็ได้เรียนรู้สมบัติที่สำคัญของ Commutator แทนด้วยสัญลักษณ์ $[\hat{A}, \hat{B} ] = \hat{A}\hat{B} - \hat{B}\hat{A}$

อย่างไรก็ตาม   Operator ในทางควอนตัม ยังมีความหมายอีกแง่หนึ่ง คือ เป็นการวัดปริมาณทางฟิสิกส์ อาทิเช่น โมเมนตัม พลังงานจลน์ วัดตำแหน่ง ฯลฯ ซึ่งคงจะต้องผ่อนผันออกไป ในโอกาสหน้า

ด้วยรักและผูกพัน, ทีปานิส ชาชิโย

Keyword: ควอนตัม, ระดับพลังงานงาน Simple Harmonic Potential, Operator

อ้างอิง

• [1] Robert G. Parr, Weitao Yang "Density-Functional Theory of Atoms and Molecules" (1994) page 179 Table 8.2 LSD Spectroscopic Constants for Diatomic Molecules
• [2] A. Einstein, Ann. Physik, vol. 22, p. 186 (1907)