บ่อศักย์ควอนตัม Finite Square Well

โดย ทีปานิส ชาชิโย ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยนเรศวร

ฟิสิกส์มัธยมปลายมีมนต์เสน่ห์ของการประยุกต์กับสิ่งที่เรามองเห็น คานงัด คานดีด คือม้ากระดกในสนามเด็กเล่น ลูกรอกใช้ดึงวัสดุก่อสร้างขึ้นตึกสูง หรือแรงเสียดทาน ใช้ออกแบบถนนให้มุมเอียงสามารถเข้าโค้งได้อย่างปลอดภัย กลศาสตร์ควอนตัม มีมนต์เสน่ห์ของการประยุกต์กับ สิ่งที่เรา มอง ไม่ เห็น (ด้วยข้อจำกัดของสายตามนุษย์ ที่ไม่ละเอียดเพียงพอ) เช่น อะตอม ที่ต่อกันเป็นโมเลกุล หรือเรียงตัวเป็นระเบียบภายในผลึก หรือ เจาะ ลึก เล็กลงไป ในนิวเคลียส เหล่านี้คืออาณาเขตที่ทฤษฎีควอนตัม แสดงศักยภาพของการทำนาย ได้อย่างเต็มที่

ศึกษาอะตอมไฮโดรเจน

ไฮโดรเจนประกอบด้วย 1 อิเล็กตรอน เคลื่อนที่อยู่ภายใต้อิทธิพลของแรงดึงดูดทางไฟฟ้าจากนิวเคลียส หากจะศึกษาให้สมจริงใน 3 มิติ เราต้องเขียนสมการ Schrödinger ของอิเล็กตรอน ให้อยู่ในรูปของ

$-\frac{\hbar^2}{2 m}(\frac{d^2 \psi}{d x^2} + \frac{d^2 \psi}{d y^2} + \frac{d^2 \psi}{d z^2} ) + V(r)\psi = E \psi ; \qquad V(r) = - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r}$

สังเกตว่าพลังงานจลน์ใน 3 มิติ ประกอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง ของทั้ง 3 แกน และพลังงานศักย์ คืออันตรกิริยาแบบคูลอมบ์ แต่เนื่องจากเป็นระบบใน 3 มิติ ผลเฉลย มีความซับซ้อนเกินกว่าเนื้อหาในปัจจุบัน ดังนั้น ในเบื้องต้นเราจะใช้โมเดลอย่างง่าย ในการศึกษาอะตอมไฮโดรเจน เพราะอิเล็กตรอนถูกขังอยู่ในอะตอม ในทำนองเดียวกับที่ อนุภาคมวล $m$ ถูกขังอยู่ในบ่อศักย์ ดังแสดงในภาพที่ 1a

ภาพที่ 1 โมเดลอย่างง่ายของอะตอมไฮโดรเจน

แม้จะเป็นโมเดลอย่างง่าย แต่ก็คำนวณพลังงาน $E$ ของไฮโดรเจน ได้ดีพอสมควร ในภาพ แสดงความหนาของบ่อศักย์ เท่ากับ 1 อังสตรอม เพราะนี่คือขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง(โดยประมาณ)ของไฮโดรเจน ในขณะที่ความสูงของขอบบ่อ ได้จากการแทน รัศมี $r = 0.5$ อังสตรอม เข้าไปในเทอมของพลังงานศักย์คูลอมบ์ $\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r}$ ดังแสดงในภาพ 1b ทำให้ได้โมเดล Finite Square Well ที่มีความสูง $V_0 = \frac{( 1.602 \times 10^{-19} )^2 }{4 \pi (8.854 \times 10^{-12} ) (0.5 \times 10^{-10}) } = 4.614 \times 10^{-18} \text{ J}$ หรือ $28.8 \text{ eV}$

ในหัวข้อนี้ เราจะแก้สมการ Schrödinger เพื่อหาระดับพลังงาาน $E$ และ ฟังก์ชันคลื่น $\psi(x)$ ของ Finite Square Well ดังในภาพ 1a

ระดับพลังงาน

ในตัวอย่างโจทย์ของหัวข้อที่ผ่านมา [อ้างอิง 1] เราได้ตั้งสมการของบ่อศักย์แบบ Finite Square Well ไว้ อย่าง ครบ ถ้วน ดังนี้

$\psi_{I}(x) = B_1 e^{+\kappa x} \qquad \qquad \qquad \quad$	(1)
$\psi_{II}(x) = A_1 sin(k x ) + A_2 cos(k x)$	(2)
$\psi_{III}(x) = B_2 e^{-\kappa x} \qquad \qquad \qquad \quad$	(3)

โดยตัวแปร $B_1, A_1, A_2, B_2, k, \kappa$ ที่มาจาก 3 บริเวณ (I), (II), และ (III) คำนวณได้จาก 6 สมการ

$B_1 = A_2$	(4)
$\kappa B_1 = k A_1$	(5)
$A_1 sin(k L) + A_2 cos(k L) = B_2 e^{-\kappa L}$	(6)
$k A_1 cos(k L) - k A_2 sin(k L) = -\kappa B_2 e^{-\kappa L}$	(7)
$k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$	(8)
$\int_{-\infty}^0 \psi^2_{I}(x) dx + \int_0^L \psi^2_{II}(x) dx + \int_L^\infty \psi^2_{III}(x) dx = 1$	(9)

ซึ่งเมื่อคำนวณค่า $k, \kappa$ ได้แล้ว ก็สามารถโยงเข้าหาพลังงานได้ว่า

$k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2} \qquad$	(10)
$\kappa^2 = \frac{2 m (V_0 - E)}{\hbar^2}$	(11)

เพื่อคำนวณค่า $k, \kappa$ พิจารณาสมการ (8) ซึ่งมีอยู่เพียงสองตัวแปร ขั้นต่อไป เราจะต้องสร้างอีกสมการหนึ่ง ซึ่งมีเพียง $k, \kappa$ ปรากฎอยู่

นำความสัมพันธ์ $A_2 = B_1$ จากสมการ (4) และ $A_1 = \frac{\kappa}{k} B_1$ จากสมการ (5) แทนเข้าในสมการ (6) และ (7) ตามลำดับ

$\displaylines{ B_1 \left[ \frac{\kappa}{k} sin(k L) + cos(k L) \right]= B_2 e^{-\kappa L} \cr B_1 \left[ \kappa cos(k L) - k sin(k L) \right] = -\kappa B_2 e^{-\kappa L} }$

ข้างต้น เราแยกตัวประกอบเอา $B_1$ มาไว้ส่วนหน้า เพื่อรอการกำจัด ด้วยการเอาสมการแรก หาร สมการที่สอง

$\frac{\frac{\kappa}{k} sin(k L) + cos(k L)}{\kappa cos(k L) - k sin(k L)} = - \frac{1}{\kappa}$

จากนั้น คูณไขว้ แล้วจัดรูป จะได้ความสัมพันธ์ดังในเฉลยการบ้านของหัวข้อที่ผ่านมา ก็คือ

$(k^2-\kappa^2)sin(k L ) - 2 k \kappa cos(k L) = 0$

(12)

ข้างต้น เป็นอีกสมการหนึ่ง ที่มีเฉพาะ $k, \kappa$ ดังที่เราต้องการ ซึ่งเมื่อผนวกกับกราฟของวงกลม $k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$ จะสามารถวาดกราฟ เพื่อหาจุดตัด ดังที่กล่าวไว้ ในหัวข้อที่ผ่านมา

แต่ความสัมพันธ์ $(k^2-\kappa^2)sin(k L ) - 2 k \kappa cos(k L) = 0$ ยังไม่เหมาะสมที่จะวาดกราฟ (ที่แกนตั้งเป็น $\kappa$ แกนนอนเป็น $k$) ได้ทันที เราต้องปรับ ให้อยู่ในรูปของฟังก์ชัน $\kappa(k)$ เสียก่อน

เริ่มด้วยการนำสมการ (12) มาเขียนเป็นสมการกำลังสอง $a \kappa^2 + b \kappa + c = 0$ กล่าวคือ

$sin(k L) \kappa^2 + 2 k cos(k L) \kappa - k^2 sin(k L) = 0$

จากนั้น ถอดราก $\kappa = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c} }{2 a}$ ได้ 2 ผลเฉลย

$\kappa = \frac{-k cos(k L) + k}{sin(k L)} = \quad k tan(\frac{k L}{2})$	(13)
$\kappa = \frac{-k cos(k L) - k}{sin(k L)} = - k cot(\frac{k L}{2})$	(14)

ด้านขวามือสุด ของ 2 สมการข้างต้น ได้จากการนำเอกลักษณ์ $sin(x) = 2 sin(\frac{x}{2}) cos(\frac{x}{2})$ และ $cos(x) = cos^2(\frac{x}{2}) - sin^2(\frac{x}{2})$ ตลอดจน $1 = cos^2(\frac{x}{2}) + sin^2(\frac{x}{2})$ มาปรับใช้ให้เป็นประโยชน์

และเมื่อนำวงกลม ดังสมการ (8) มาวาดกับกราฟของสมการ (13) และ (14) จะได้จุดตัดดังแสดงในภาพที่ 2a ซึ่งเป็นกรณีทั่วไป หรือภาพที่ 2b ซึ่งเป็นกรณีของไฮโดรเจน

ภาพที่ 2 a) การคำนวณค่า $k, \kappa$ ในกรณีทั่วไป และ b) กรณีโมเดลอย่างง่าย ของไฮโดรเจน $L = 1$ อังสตรอม และ $V_0 = 28.8 \text{ eV}$

ในกรณีทั่วไป กราฟสีน้ำเงินของสมการ (13) จะตัดกับวงกลมสีแดงเป็นอันดับแรก ถัดมาทางขวา จะเป็นเส้นประสีเขียวของสมการ (14) และจะสลับกันอยู่เช่นนี้ เรื่อยไป

ภาพที่ 2b เป็นกรณีของโมเดลอย่างง่ายที่เราใช้ศึกษาไฮโดรเจน แสดงให้เห็นจุดตัด เพียงจุดเดียว ซึ่งมีพลังงาน $E = 11.7 \text{ eV}$ แต่ก่อนที่เราจะเปรียบเทียบกับระดับพลังงานของไฮโดรเจน จะต้องรอบคอบ อีกขั้นหนึ่ง

ภาพที่ 3 ระดับพลังงานของ Finite Square Well เทียบกับ ระดับพลังงานของไฮโดรเจน

ในภาพข้างต้น พลังงานที่ถูกต้อง ของไฮโดรเจน $E_\text{H} = -13.6 \text{ eV}$ เป็นการรายงานผลที่ใช้ขอบบ่อ เป็นฐานในการนับศูนย์ กล่าวคือ รายงานว่า พลังงานอยู่ต่ำลงมา(ติดลบ)จากขอบบ่อ เท่ากับ $13.6 \text{ eV}$ ซึ่งแตกต่างจากวิธีการนับพลังงานของโมเดล Finite Square Well ที่เราใช้อยู่นี้ ดังนั้น เพื่อเทียบเคียงกับไฮโดรเจน เราจะต้องนำพลังงาน $E = 11.7 \text{ eV}$ มา ลบ ออก จาก ขอบบ่อศักย์ $V_0 = 28.8 \text{ eV}$ เพื่อหาว่าระดับพลังงาน อยู่ต่ำลงมา จากขอบบ่อเท่าใด

พลังงานของไฮโดรเจน (ด้วยโมเดล Finite Square Well) $E_H^{\text{(Model)}} = -(28.8 - 11.7) = - 17.1 \text{ eV}$

ซึ่งคลาดเคลื่อนอยู่ที่ประมาณ 25% ถือว่าไม่เลวนัก สำหรับโมเดลที่มีข้อจำกัด ที่รวบรัดตัดตอนอยู่บ้าง อาทิเช่น

• สมมุติให้เป็น 1 มิติ ทั้งที่ไฮโดรเจนมี 3 มิติ
• ใช้โมเดลแบบบ่อศักย์สี่เหลี่ยม ทั้งที่ไฮโดรเจนเป็นรูป โค้ง แบบคูลอมบ์
• บ่อศักย์ลึกจำกัดค่าหนึ่ง แต่ไฮโดรเจนลึกอนันต์ ณ ใจกลางของนิวเคลียส

ระบบหน่วยวัด Atomic Unit

หากนักศึกษาวาดกราฟ เพื่อตรวจสอบผลลัพธ์ในภาพที่ 2b หรือเพื่อทำการบ้าน ก็ดี จะมีความยุ่งยากพอสมควรหากใช้ระบบ SI เนื่องจาก พลังงานอยู่ในหน่วย จูล หรือ ระยะทางเป็นเมตร ซึ่งล้วนมีค่าสูงมาก เมื่อเทียบกับพลังงานหรือระยะทางในระดับอะตอม นอกจากนี้ ตัวเลขในระบบ SI ยังมี เศษ ทศนิยม เป็นอุปสรรคในการคำนวณ เช่น มวลอิเล็กตรอน $m_e = 9.109 \times 10^{-31}$ กิโลกรัม หรือ ขนาดประจุของมัน $e = 1.602 \times 10^{-19}$ คูลอมบ์ เป็นต้น

จินตการหน่วยวัดที่ออกแบบไว้อย่างลงตัว กับการแก้สมการ Schrödinger เหมาะกับอะตอม หรือโมเลกุล ระบบซึ่งมีค่าคงที่พื้นฐานต่อไปนี้ เท่ากับ 1 !!! พอดี

$\hbar = 1, \enspace m_e = 1, \enspace e = 1, \enspace \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 1$ ในระบบ Atomic Unit

ข้างต้น คือเอกลักษณ์ของระบบ Atomic Unit ซึ่งมีหน่วยในการวัดระยะทาง พลังงาน หรือเวลา แตกต่างจากระบบ SI ดังข้อมูล ต่อไปนี้

ระยะทาง	ใช้หน่วย Bohr	$\enspace 1 \text{ Bohr} = 5.291772 \times 10^{-11} \text{ m} = 0.529 \text{ angstrom}$
พลังงาน	ใช้หน่วย Hartree	$\enspace 1 \text{ Hartree} = 4.359745 \times 10^{-18} \text{ J} = 27.211 \text{ eV}$
เวลา	ไม่มีชื่อเฉพาะ	$\enspace 1 \text{ Unit of Time} = 2.418884 \times 10^{-17}\text{ s}$

---

การบ้าน

จงเขียนสมการ Schrödinger ของไฮโดรเจนใน 3 มิติ ด้วยระบบ Atomic Unit

เฉลย$-\frac{1}{2}(\frac{d^2 \psi}{d x^2} + \frac{d^2 \psi}{d y^2} + \frac{d^2 \psi}{d z^2} ) - \frac{1}{r}\psi = E \psi$

---

---

การบ้าน

จงเปลี่ยนความหนา $L = 1 \text{ angstrom}$ และ ความสูง $V_0 = 28.8 \text{ eV}$ ให้อยู่ใน Atomic Unit

เฉลย $L = 1.89 \text{ Bohr}$ และ $V_0 = 1.058 \text{ Hartree}$

---

ทั้งนี้ ไม่ว่านักศึกษาจะเลือกใช้ระบบ SI หรือ Atomic Unit ก็ตาม เพื่อความไม่ประมาท ควรให้ตัวแปรที่เกี่ยวข้องทุกตัวในสูตรนั้นๆ หรือในกราฟนั้นๆ   เป็นระบบเดียวกัน

ภาพที่ 4 การคำนวณพลังงาน ด้วยโปรแกรม Excel

ภาพที่ 4 แสดงการวาดกราฟด้วยโปรแกรม Excel ด้วยระบบ Atomic Unit โดยใช้ $L = 1.89 \text{ Bohr}$ และ $V_0 = 1.058 \text{ Hartree}$ ซึ่งจะได้ค่า $k = 0.929 \text{ Bohr}^{-1}$ และคำนวณพลังงานได้ว่า (สังเกตความสะดวกในการใช้ $\hbar = 1$ และ $m = 1$)

$E = \frac{\hbar^2 k^2} {2 m} = \frac{1^2 \times 0.929^2}{2 \times 1} = 0.432 \text{ Hartree}$

จากนั้นเราค่อยเปลี่ยนหน่วยของพลังงานที่คำนวณได้ ให้กลายเป็น $\text{eV}$ หรือ $\text{Joule}$ หรือ $\text{Calorie}$ เพื่อการรายงานผล เพื่อวาดภาพ วาดกราฟประกอบการนำเสนอผลงาน ตามแต่รสนิยมและวัฒนธรรมการเลือกใช้หน่วยวัด ของแต่ละสาขาวิชา

ฟังก์ชันคลื่น

จากการวาดกราฟในหัวข้อที่ผ่านมา เมื่อทราบค่า $k$ เป็นที่เรียบร้อย เราสามารถคำนวณ $\kappa = \sqrt{ \frac{2 m V_0}{\hbar^2} - k^2}$ และตัวแปรที่เหลือ $B_1, A_1, A_2, B_2$ ได้ทั้งหมด ทำให้ได้ฟังก์ชันคลื่น $\psi(x)$ ที่สมบูรณ์ เพื่อวิเคราะห์ต่อยอดไปถึง $|\psi(x)|^2$ ซึ่งแสดงลักษณะการกระจายตัวของกลุ่มหมอกอิเล็กตรอน ภายในบ่อศักย์

กล่าวอีกนัยหนึ่ง $B_1, A_1, A_2, B_2$ ล้วนเป็นฟังก์ชันของ $k, \kappa$ ส่วนจะมีรูปแบบทางคณิตศาสตร์เช่นใดนั้น รายละเอียดอยู่ในการบ้านต่อไปนี้

---

การบ้าน Hardcore

จงใช้สมการ (4)-(9) เพื่อเขียน $B_1, A_1, A_2, B_2$ ให้เป็นฟังก์ชันของ $k, \kappa$

บอกใบ้ เขียนตัวแปร $A_1, A_2, B_2$ ให้อยู่ในรูป $B_1$ จากนั้นใช้หลักการ Normalization จากสมการ (9) เพื่อคำนวณ $B_1$ นอกจากนี้ ใช้สมการ (12) จัดรูป $B_1$ ให้แลดูสวยงาม

เฉลย$\quad \begin{split} B_1(k,\kappa) &= \sqrt{ \frac{2 k^2 \kappa }{(k^2 + \kappa^2)(\kappa L + 2)}} \cr A_1 &= \frac{\kappa}{k} B_1 \cr A_2 &= B_1 \cr B_2 &= \left[ \kappa sin(k L)+ k cos(k L) \right] \frac{e^{\kappa L}}{k} B_1\cr \end{split}$

---

ภาพที่ 5 แสดงลักษณะทั่วไปของฟังก์ชันคลื่น ซึ่งสืบเนื่องมาจากภาพ 2a ที่เราได้คำนวณค่า $k, \kappa$ ไว้ก่อนหน้านี้ และนำมาคำนวณ $B_1(k,\kappa), \enspace A_1(k,\kappa), \enspace A_2(k,\kappa), \enspace B_2(k,\kappa)$ เพื่อสร้างเป็นฟังก์ชันคลื่น ของแต่ละพื้นที่ (I), (II), (III) จากนั้นนำมาวาดบนกราฟ

ภาพที่ 5 ลักษณะทั่วไปของฟังก์ชันคลื่น

ตรวจสอบด้วยสายตา สังเกตว่าฟังก์ชันคลื่น แบ่ง ออก เป็น 2 ประเภท คือ 1) มีความสมมาตรรอบกึ่งกลางบ่อ ในลักษณะของฟังก์ชันคู่ (แสดงด้วยสีน้ำเงิน) และประเภทที่ 2) มีความปฏิสมมาตร หรือที่เรียกว่า ฟังก์ชันคี่ (แสดงด้วยสีเขียว) และเพื่อชี้ให้เห็น ในประเด็นความสมมาตรอันนี้ เราจะทำตัวอย่างโจทย์อีกข้อหนึ่ง ที่วางตำแหน่งของบ่อศักย์ให้สมมาตรรอบจุดกำเนิด กล่าวคือ บ่อศักย์อยู่ในบริเวณ $-\frac{L}{2} \lt x \lt +\frac{L}{2}$ แล้วจะนำผลลัพธ์ที่ได้ มาวิเคราะห์ในประเด็นนี้อีกครั้ง ภายหลังจากตัวอย่างโจทย์ ต่อไปนี้

---

ตัวอย่างโจทย์

จงหาฟังก์ชันคลื่น และระดับพลังงานของ Finite Square Well ดังแสดงในภาพ

วิธีทำ

เราแบ่งพื้นที่ออกเป็น 3 บริเวณเช่นเคย แต่เนื่องจากความสมมาตรของบ่อศักย์ ที่เป็นตัวกำหนดธรรมชาติการเคลื่อนที่ของอนุภาค เราใช้ตรรกะว่า

กลุ่มหมอกอิเล็กตรอน หรือ $|\psi(x)|^2$ จะต้องกระจายตัวอย่างสมมาตร ซ้าย-ขวา

สังเกตเครื่องหมาย ยกกำลังสอง ที่แสดงถึงความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาค จากนั้นวิเคราะห์ต่อไปอีกว่า การที่ ฝั่งซ้าย-ฝั่งขวา ของฟังก์ชัน $\psi(x)$ จะ ยก กำ ลัง สอง แล้วมีค่าเท่ากัน หรือ สมมาตร กันนั้น ย่อมเกิดขึ้นได้สองลักษณะ คือ

ฝั่งขวา = +ฝั่งซ้าย หรือเรียกว่า ฟังก์ชันคู่
ฝั่งขวา = -ฝั่งซ้าย หรือเรียกว่า ฟังก์ชันคี่

• ภาพ ก) แสดงดัวอย่างฟังก์ชันคู่ ที่ ทั้ง สอง ฝั่ง มีค่าเท่ากัน อาทิเช่น ฟังก์ชัน พาราโบล่า $f(x) = x^2$ หรือ $cos(x)$
• ภาพ ข) แสดงตัวอย่างฟังก์ชันคี่ ที่ทั้งสองฝั่ง มีเครื่องหมาย กลับกัน เช่น ฟังก์ชันแปรผันตรง $f(x) = 2x$ หรือ เส้นโค้งแปรผกผัน $\frac{1}{x}$ และที่สำคัญ $\quad sin(x)$

ด้วยเหตุนี้ เราจะสร้างผลเฉลย $\psi_{I}(x), \enspace \psi_{II}(x), \enspace \psi_{III}(x)$ แยกคนละประเภท

ประเภทฟังก์ชันคู่ หลังจากเขียนสมการ Schrödinger ในแต่ละบริเวณ เราสร้างผลเฉลยได้ว่า

Even solutions $\qquad \displaylines{ \psi_{I}(x) = B e^{+\kappa x} \quad \cr \psi_{II}(x) = A cos(k x) \cr \psi_{III}(x) = B e^{-\kappa x} \quad }$

(E.1)

บริเวณตรงกลาง เราเลือกเฉพาะ $cos(k x)$ เพราะมันเป็นฟังก์ชันคู่ ส่วนบริเวณขอบบ่อซ้ายขวา มีสัมประสิทธิ์ $B$ เหมือนกันทั้งคู่ เพราะเรากำหนดให้มันเป็นฟังก์ชันคู่ แปลว่า ทั้งซ้ายและขวา จะต้องมีขนาดสมมาตรกัน หรือ เท่ากัน

เมื่อนำ $\psi_{II}(x)$ และ $\psi_{III}(x)$ มา "เย็บต่อกัน" ณ รอยต่อ $x = +\frac{L}{2}$ จึงเกิดเป็น 2 สมการ

$\begin{split} A cos(\frac{k L}{2}) &= \quad B e^{-\frac{\kappa L}{2}} \cr - k A sin(\frac{k L}{2}) &= -\kappa B e^{-\frac{\kappa L}{2}} \end{split}$

จับทั้งสองสมการ หารกัน จะได้ว่า

Even solutions $\qquad \kappa = k tan(\frac{k L}{2})$

(E.2)

ซึ่งได้ผลลัพธ์อันเดียวกัน กับสมการ (13) นี้เป็นว่า มันจะต้องให้พลังงาน ค่าเดียวกัน นั่นเอง

นอกจากนี้ เรายังสามารถใช้หลักการ Normalization เพื่อคำนวณค่า $A, B$ ได้ว่า

Even solutions $\qquad A = \sqrt{\frac{2 \kappa}{\kappa L + 2}}; \quad B = A cos(\frac{k L}{2}) e^{\frac{\kappa L}{2}}$

(E.3)

ประเภทฟังก์ชันคี่ ผลเฉลยอยู่ในรูป

Odd solutions $\qquad \displaylines{ \psi_{I}(x) = B e^{+\kappa x} \quad \cr \psi_{II}(x) = A sin(k x) \cr \psi_{III}(x) = -B e^{-\kappa x} \quad }$

(E.4)

ให้เทียบสมการ (E.1) กับสมการ (E.4) ว่าคราวนี้ เราเลือกใช้ $sin(k x)$ แทน เพราะเรากำลังพิจารณาฟังก์ชันคี่ ในขณะที่ขอบซ้ายขวา สัมประสิทธิ์ $B$ มีเครื่องหมายสลับกัน ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ของฟังก์ชันคี่ และเมื่อพิจารณารอยต่อ $x = +\frac{L}{2}$ จะนำไปสู่สมการ

Odd solutions $\qquad \kappa = - k cot(\frac{k L}{2})$

(E.5)

เช่นเคย ได้ผลลัพธ์เดียวกันกับสมการ (14) นี้เป็นว่ามีระดับพลังงานเท่ากัน และสุดท้าย ใช้หลัก Normalization เพื่อหาค่า $A, B$

Odd solutions $\qquad A = \sqrt{\frac{2 \kappa}{\kappa L + 2}}; \quad B = -A sin(\frac{k L}{2}) e^{\frac{\kappa L}{2}}$

(E.6)

ฟังก์ชันคลื่น แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ ฟังก์ชันคู่ และ ฟังก์ชันคี่ ส่วนพลังงานที่ได้ มีค่าเท่าเดิม ตอบ

---

จากการวิเคราะห์ตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา ทำให้ทราบว่า แม้เราวางตำแหน่งของบ่อศักย์ให้สมมาตรรอบจุดกำเนิด $-\frac{L}{2} \lt x \lt +\frac{L}{2}$ ระดับพลังงานที่คำนวณได้ กลับมีค่าไม่ต่างจากกรณี $0 \lt x \lt L$ ดังในภาพ 1a

พฤติกรรมอันนี้ เกิดจากที่ทั้งสองกรณี ไม่ได้แตกต่างกันอย่างมีนัยะสำคัญ เป็นแต่เพียงทางเลือกของการวางระบบพิกัดที่แตกต่างกัน เท่านั้นเอง

แต่การใช้ตรรกะความสมมาตรเข้ามาช่วย ก็ทำให้กระบวนการทางคณิตศาสตร์ในตัวอย่างโจทย์ ลด ความ ซับ ซ้อน ลงไปมาก ทั้งยังสามารถจำแนกประเภทของฟังก์ชันคลื่นออกมาได้ชัดเจน โดยความสัมพันธ์ $\kappa = k tan(\frac{k L}{2})$ ดังสมการ (13) เป็นฟังก์ชันคู่ และ $\kappa = - k cot(\frac{k L}{2})$ ดังสมการ (14) เป็นฟังก์ชันคี่ ซึ่งหากรู้อย่างนี้ ชะรอยเราวางบ่อศักย์ให้สมมาตรตั้งแต่แรก คงจะเป็นการดี

---

การบ้าน Hardcore

ให้ $n_\text{even}$ และ $n_\text{odd}$ เป็นเลขจำนวนเต็ม ที่แสดงจำนวนสถานะ Bound State ของกรณีฟังก์ชันคู่ และ คี่ ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า

$\begin{split} n_\text{even} & \le \frac{L \sqrt{2 m V_0}}{2 \pi \hbar} + 1\cr n_\text{odd} & \le \frac{L \sqrt{2 m V_0}}{2 \pi \hbar} + \frac{1}{2} \end{split}$

หมายเหตุ วิศวกรสามารถใช้ความสัมพันธ์ข้างต้น ออกแบบจำนวนสถานะที่ต้องการ ด้วยการปรับ ความหนา หรือความสูงของบ่อศักย์ให้เหมาะสม ยกตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นกรณีอิเล็กตรอน $m = m_e$ และเลือก $L = 4 \text{ Bohr}, \enspace V_0 = 2 \text{ Hartree}$ มีผลให้ $\frac{L \sqrt{2 m V_0}}{2 \pi \hbar} = \frac{4 \sqrt{2 \times 1 \times 2}}{2 \pi \times 1} = 1.273$ หรือ

$n_\text{even} \le 2.273 \enspace$ แปลว่า $\enspace n_\text{even} = 2 \enspace$ (เพราะนิยามเป็นจำนวนเต็ม)
$n_\text{odd} \le 1.773 \enspace$ แปลว่า $\enspace n_\text{odd} = 1 \enspace$ (จำนวนเต็มที่ไม่เกิน 1.773)
จึงมีทั้งหมด 2+1 = 3 สถานะ ที่เป็น Bound State

บอกใบ้ พิจารณาภาพที่ 2a) จุดตัดระหว่างวงกลม $k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$ กับสมการ (13) หรือ (14) จะต้องเกิดขึ้น ทางขวา ของจุดที่ $\kappa$ เท่ากับศูนย์

---

---

ตัวอย่างโจทย์ Hardcore

พิจารณา Double Well Potential ดังแสดงในภาพ เมื่อ $R$ คือระยะห่าง ระหว่างจุดศูนย์กลางของ 2 บ่อ โดยแต่ละบ่อ มีความกว้าง $L$ จงหาความสัมพันธ์ ระหว่าง $k$ และ $\kappa$ (เพื่อใช้ในการคำนวณพลังงาน ในลำดับต่อไป)

วิธีทำ

ขั้นตอนการคำนวณโดยละเอียด อาจใช้กระดาษทดถึง 10 หน้า ดังนั้นเราจะอธิบายพอสังเขป

อาศัยความสมมาตรของบ่อศักย์ เราแบ่งการวิเคราะห์ออกเป็น ฟังก์ชันคู่ และ คี่

ประเภทฟังก์ชันคู่ เขียนฟังก์ชันคลื่นออกมาได้ว่า

$\begin{split} \psi_{III} & = F [ e^{+ \kappa x } + e^{- \kappa x } ] \cr \psi_{IV} & = A_1 sin(k x) + A_2 cos(k x ) \cr \psi_{V} & = B e^{- \kappa x } \end{split}$

ณ รอยต่อ $x = \frac{R}{2} - \frac{L}{2}$ สร้างได้ 2 สมการ

$\begin{split} F [ e^{+ \kappa \frac{R-L}{2} } + e^{- \kappa \frac{R-L}{2} } ] & = A_1 sin(k \frac{R-L}{2}) + A_2 cos(k \frac{R-L}{2}) \cr \kappa F [ e^{+ \kappa \frac{R-L}{2} } - e^{- \kappa \frac{R-L}{2} } ] & = k A_1 cos(k \frac{R-L}{2}) - k A_2 sin(k \frac{R-L}{2}) \end{split}$

นำสมการล่าง หารด้วย สมการบน เพื่อกำจัดตัวแปร $F$ แต่ก่อนอื่น เรานิยามตัวย่อ เพื่อประหยัดเวลาในการทด และ ลด ความผิดพลาดจากอาการตาลาย

นิยาม $t \equiv tanh(\kappa \frac{R-L}{2}); \quad S_{\pm} \equiv sin(k \frac{R \pm L}{2}); \quad C_{\pm} \equiv cos(k \frac{R \pm L}{2})$

นำสมการล่าง หารด้วย สมการบน จะได้ $\kappa t = \frac{k A_1 C_- - k A_2 S_-}{A_1 S_- + A_2 C_-}$ แล้วจัดรูป

$A_1[\kappa t S_- - k C_-] = - A_2 [ \kappa t C_- + k S_- ]$

(E.1)

ณ รอยต่อ $x = \frac{R}{2} + \frac{L}{2}$ สร้างได้อีก 2 สมการ

$\begin{split} B e^{- \kappa \frac{R+L}{2} } & = A_1 sin(k \frac{R+L}{2}) + A_2 cos(k \frac{R+L}{2}) \cr - \kappa B e^{- \kappa \frac{R+L}{2} } & = k A_1 cos(k \frac{R+L}{2}) - k A_2 sin(k \frac{R+L}{2}) \end{split}$

นำสมการล่าง หารด้วย สมการบน จะได้ $- \kappa = \frac{k A_1 C_+ - k A_2 S_+}{A_1 S_+ + A_2 C_+}$ คูณไขว้ แล้วแยก $A_1, A_2$ ออกมาไว้ เพื่อรอการกำจัด

$A_1[\kappa S_+ + k C_+] = - A_2 [ \kappa C_+ - k S_+ ]$

(E.2)

กำจัด $A_1, A_2$ ด้วยการหาร สมการ (E.1) ด้วย (E.2) เกิดเป็น $\frac{\kappa t S_- - k C_-}{\kappa S_+ + k C_+} = \frac{\kappa t C_- + k S_-}{\kappa C_+ - k S_+}$ คูณไขว้ แล้วจัดรูป

$(k^2 - \kappa^2 t)[S_+ C_- - S_- C_+] - k \kappa (t + 1)[ S_- S_+ + C_- C_+] = 0$

(E.3)

อาจต้องใช้ความอดทนเล็กน้อย แต่เราพิสูจน์ได้ว่า $[S_+ C_- - S_- C_+] = sin(k L)$ และ $[ S_- S_+ + C_- C_+] = cos(k L)$ ดังนั้น เราได้ความสัมพันธ์ของ $k, \kappa$ กรณีฟังก์ชันคู่ ก็คือ

Even solutions $\quad (k^2 - \kappa^2 t) sin(k L) - k \kappa (t + 1) cos(k L)= 0$

(E.4)

ประเภทฟังก์ชันคี่ เขียนฟังก์ชันคลื่นออกมาได้ว่า

$\begin{split} \psi_{III} & = F [ e^{+ \kappa x } - e^{- \kappa x } ] \cr \psi_{IV} & = A_1 sin(k x) + A_2 cos(k x ) \cr \psi_{V} & = B e^{- \kappa x } \end{split}$

ณ บริเวณตรงกลาง $\psi_{III}$ จะต้องเป็นฟังก์ชันคี่ จึงต้องอยู่ในรูป $( e^{+ \kappa x } - e^{- \kappa x } ) \sim sinh(\kappa x)$ ส่วนในบริเวณของ $\psi_{IV}$ หรือ $\psi_{V}$ ไม่สามารถใช้ความเป็นฟังก์ชันคี่ มาร่วมพิจารณา เพราะมันไม่ได้อยู่ตรงกลาง ไม่จำเป็นต้องมีลักษณะ "ปฏิสมมาตร" ซ้ายขวา แต่อย่างใด

และหากสร้างสมการ ณ รอยต่อทั้งสอง จากนั้น กำจัดตัวแปร $F, A_1, A_2, B$ ให้เหลือเพียง $k, \kappa \enspace$ ในกรณีฟังก์ชันคี่จะได้ว่า

Odd solutions $\quad (k^2 t - \kappa^2) sin(k L) - k \kappa (t + 1) cos(k L)= 0$

(E.5)

ได้ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันคู่และคี่ ดังสมการ (E.4) และ (E.5) ตามลำดับ ตอบ

---

แอบมองเนื้อหา Quantum Tunnelling

ฟังก์ชันคลื่นในหัวข้อที่ผ่านมา ซ่อนไว้ด้วยความลึกลับทางควอนตัม ที่ไม่เคยปรากฏมาก่อนในฟิสิกส์ยุคดั้งเดิม กล่าวคือ เมื่อสังเกตการเคลื่อนที่ของวัตถุขนาดใหญ่ หากมันมีพลังงาน $E$ ไม่เพียงพอที่จะเอาชนะบ่อศักย์ $V_0$ ที่ขังมันไว้ภายใน ก็จะไม่สามารถหลุดออกไปข้างนอกได้เลย ตัวอย่างมีให้เห็นอยู่ทั่วไป ดาวเคราะห์ของระบบสุริยะ ถูกขังอยู่ในบ่อศักย์เนื่องจากแรงโน้มถ่วงของดวงอาทิตย์ และจากหลักฐานทางธรณีวิทยากว่า 4.5 พันล้านปีที่โลกของเราถือกำเนิดขึ้น มันไม่เคยหลุดออกจากวงโคจรไปได้ ค่อยๆสาวไม้คิวแล้วแทงลูกสนุกเกอร์เบาๆ มันก็ไม่มีทางกระโดดข้ามขอบโต๊ะสักหลาดออกไปได้ เช่นกัน

เมื่อวัตถุขนาดเล็ก ถูกขังอยู่ภายในบ่อศักย์ มันกลับมีความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกไปข้างนอก ดังแสดงในภาพที่ 5 พิจารณาฟังก์ชันคลื่นที่ได้จากสมการ Schrödinger จะเห็นว่า แม้เลยออกมานอกบ่อแล้ว ฟังก์ชันคลื่นก็ยังไม่เป็นศูนย์ แต่จะลดลงเรื่อยๆ แบบ Exponential Decay   และในเมื่อฟังก์ชันคลื่น $\psi\ne 0$ ก็ย่อมแสดงว่า ความน่าจะเป็น $\psi^2$ ไม่เท่ากับศูนย์ ด้วยเช่นกัน

ภาพที่ 6 แสดงพฤติกรรมที่อนุภาคสามารถทะลุทะลวงเข้าไปในอาณาเขต ของ ขอบบ่อ ทั้งๆที่มันมีพลังงานไม่เพียงพอ เริ่มจากภาพด้านซ้ายมือ คือกรณีของ Finite Square Well

ภาพที่ 6 แสดงฟังก์ชันคลื่นในบริเวณต่างๆของบ่อศักย์ (กำแพงศักย์ - เลือกวาดเฉพาะส่วนจำนวนจริง เพราะฟังก์ชันคลื่นในกรณีนี้เป็นจำนวนเชิงซ้อน)

ภายในบ่อ ฟังก์ชันคลื่นมีการสั่นขึ้นลง คล้ายคลื่น ที่มีแอมปลิจูดคงที่ค่าหนึ่ง นี้เกิดจากลักษณะทางคณิตศาสตร์ของ $\psi(x)$ ที่อยู่ในรูป $cos(k x)$ หรือ $sin(k x)$   เลื่อน มา ทางขวามือ ตามแนวแกน $x$ จะเข้าสู่บริเวณขอบบ่อ $x = 4$ ซึ่ง $E \lt V_0$   ในบริเวณนี้ $\psi(x) \ne 0$   และจะค่อยๆลดลงแบบ $e^{-\kappa x }$

จะเกิดอะไรขึ้น? ถ้าขอบบ่อ ขาดแหว่งออกไป

คำตอบดังแสดงในภาพที่ 6(ขวา) คือ กลาย เป็น "กำแพงศักย์"   ไม่ได้มีลักษณะของ   บ่อ อีกต่อไป ในกรณีนี้ ฟังก์ชันคลื่นวกกลับมาสั่นขึ้นลงอีกครั้ง ในทางคณิตศาสตร์ นี้เป็นผลจากการแก้สมการ Schrödinger ในบริเวณที่ $V = 0$ ดังที่เราได้วิเคราะห์แล้วในบทที่ 1 [อ้างอิง 2]

ปรากฎการณ์ในภาพที่ 6(ขวา) เรียกว่า Quantum Tunnelling หรือ การทะลุทะลวงเชิงควอนตัม ที่ลำอนุภาค เคลื่อนที่เป็นสาย   คล้ายลำน้ำที่ฉีดออกจากท่อ เข้าปะทะกำแพงศักย์ และแม้พลังงานจลน์ที่ถูกฉีดเข้ามาในตอนต้นจะสู้ความสูงของกำแพงศักย์ไม่ได้ อนุภาคก็ยังสามารถ เล็ดลอดทะลุกำแพงออกไป

การจะแก้สมการ Schrödinger ของกำแพงศักย์ จะต้องมีความเข้าใจเรื่อง เวลา ดีพอสมควร เพราะอนุภาคมีการเลื่อนตำแหน่งเมื่อเวลาผ่านไป และที่สำคัญ มีโมเมนตัมเป็นสมบัติเฉพาะตัว เราจะต้องทราบวิธีการสร้างฟังก์ชันคลื่น(จำนวนเชิงซ้อน!)ที่สะท้อนพฤติกรรมดังกล่าวของอนุภาค ซึ่งจะต้องรอในบทที่ 3 "เวลา และ โมเมนตัม" แต่หัวใจสำคัญของปรากฏการณ์ Tunnelling   ซุกซ่อนอยู่ใน Finite Square Well ที่เรากำลังเรียนอยู่นี้ เท่านั้นเอง

จงหาความน่าจะเป็น ที่อนุภาคจะอยู่นอกบ่อ

พิจารณาบ่อศักย์ ที่บังเอิญอนุภาคมีพลังงานในสถานะพื้น $E = \frac{V_0}{2}$ เพื่อความสะดวก เราจะวางบ่อศักย์ให้สมมาตร แล้ววาดกราฟของฟังก์ชันคลื่น $\psi$ ตลอดจน $\psi^2$ ดังแสดงในภาพที่ 7

ภาพที่ 7 ฟังก์ชันคลื่น และ ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

จากภาพ เมื่อ $x \in [L/2,\infty)$ ฟังก์ชันคลื่น $\psi(x) = B e^{-\kappa x}$ นอกจากนี้ ภาพที่ 7(ขวา) แสดง "ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น" หรือ $\psi^2$ ซึ่งมีพื้นที่ใต้กราฟ $2 \int^{\infty}_{L/2} \psi^2 dx$ หมายถึงความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะอยู่นอกบ่อ สังเกตว่าเราอินทิเกรตเฉพาะซีกขวามือ แล้วค่อยคูณด้วย 2 เพราะ $\psi^2$ มีความสมมาตร ซ้ายขวา

ความน่าจะเป็น ที่อนุภาคจะอยู่นอกบ่อ = $2 \int^{\infty}_{L/2} \left( B e^{-\kappa x} \right)^2 dx$

($E = \frac{V_0}{2})$

จากตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา เราทราบว่า $A = \sqrt{\frac{2\kappa}{\kappa L+2}}$ และ $B = A cos(k L/2) e^{\kappa L /2}$ จึงแทนเข้าไปเพื่อคำนวณความน่าจะเป็น

$2 \int^{\infty}_{L/2} \left( B e^{-\kappa x} \right)^2 dx = 2 B^2 \underbrace{ \int^{\infty}_{L/2} e^{-2 \kappa x} dx }_{\frac{1}{2 \kappa}e^{-\kappa L}}= \frac{2 }{\kappa L + 2} cos^2(k L/2)$

($E = \frac{V_0}{2})$

ขั้นต่อไป เราเพียงหาค่า $k, \kappa$ เพื่อนำมาคำนวณความน่าจะเป็นข้างต้น อาศัยความสัมพันธ์ $E = \frac{V_0}{2}$ แทนเข้าในสมการ (10) จะได้ว่า

$k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2} = \frac{m V_0}{\hbar^2}$

($E = \frac{V_0}{2})$

และใช้สมการ (11) เพื่อคำนวณ $\kappa$

$\kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2} - k^2 = \frac{m V_0}{\hbar^2}$

($E = \frac{V_0}{2})$

นี้เป็นว่า $\kappa = k$   และจาก $\kappa = k tan(\frac{k L}{2})$ ในสมการ (13) แสดงว่า $tan(\frac{k L}{2}) = 1$ ซึ่งโดยเอกลักษณ์ของตรีโกณมิติแล้ว $tan(45^\circ) = 1 = tan(\frac{\pi}{4})$ ดังนั้น

$\frac{k L}{2} = \frac{\pi}{4}$   หรือ   $k L = \frac{\pi}{2} = \kappa L$

($E = \frac{V_0}{2})$

แทน $k L = \frac{\pi}{2} = \kappa L$ เข้าไปในความน่าจะเป็น ที่เราคำนวณค้างไว้ จะได้ว่า

$2 \int^{\infty}_{L/2} \left( B e^{-\kappa x} \right)^2 dx = \frac{2 }{\kappa L + 2} cos^2(k L/2) = \frac{2 }{\pi/2 + 2} cos^2(\pi/4)$

($E = \frac{V_0}{2})$

สุดท้ายได้ข้อสรุป ก็คือ

ความน่าจะเป็น ที่อนุภาคจะอยู่นอกบ่อ $= \frac{2}{\pi + 4} \approx 28\%$

($E = \frac{V_0}{2})$

มีความน่าจะเป็นถึง 28% !!! ปรากฏการณ์เช่นนี้ ไม่เคยมีมาก่อนในกลศาสตร์คลาสสิก !? เพราะถ้าเป็นอย่างนั้น โลกของเราคงกระโดดออกไปอยู่นอกระบบสุริยะ เป็นเวลาอย่างน้อย 3 เดือนใน 1 ปี แต่ในทางกลศาสตร์ควอนตัม กลับสามารถเป็นไปได้ (สำหรับอนุภาคที่มีขนาดเล็กเช่นอิเล็กตรอน)

ถ้าเป็นบ่อศักย์ทั่วๆไป อาจมีความน่าจะเป็น น้อยลงกว่านี้บ้าง โดยเฉพาะถ้าบ่อลึกมากๆจนยากที่อนุภาคจะทะลวงออกไป ตัวอย่างข้างต้นเป็นกรณีศึกษาที่คำนวณได้ชัดเจนและมีผลลัพธ์ออกมาเป็นเทอมที่เรียบง่าย เพียงพอในการแสดงประเด็นของ Quantum Tunnelling   กล่าวคือ   การที่ $E \lt V_0$ จะทำให้ผลเฉลยของสมการ Schrödinger อยู่ในรูป Exponential Decay หรือ $e^{-\kappa x}$ ยิ่งทะลวงล้วงลึกเข้าไปเท่าไหร่ ก็ยิ่งลดลงไป มากเท่านั้น แต่ไม่เท่ากับศูนย์ จึงมีโอกาสที่อนุภาคจะไปปรากฏตัว อยู่นอกบ่อศักย์ นั่นเอง

มากไปกว่านั้น ปรากฏการณ์ Quantum Tunnelling ยังถูกนำมาสร้างกล้องจุลทรรศน์กำลังขยายสูง ที่ส่องเห็นได้แม้กระทั่งอะตอม เรียกว่า Scanning Tunnelling Microscope อันเป็นงานชิ้นโบว์แดงระดับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี 1986 ซึ่งเราจะได้ศึกษาในรายละเอียด ในบทที่ 3 กันต่อไป

สรุป

เราได้ศึกษาบ่อศักย์แบบ Finite Square Well ซึ่งในภาพรวม มีหลักในการตั้งสมการ ไม่ต่างจากเดิมที่ผ่านมา คือ แบ่งบ่อศักย์ออกเป็นส่วนๆ, หาคำตอบทีละส่วน, แล้วนำมา "เย็บต่อกัน"

เป็นการสะดวก ที่เราจะวางบ่อศักย์ให้สมมาตร $-\frac{L}{2} \lt x \lt +\frac{L}{2}$ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันคลื่น ใน 2 ลักษณะ คือฟังก์ชันคู่ และ ฟังก์ชันคี่ โดยที่ทั้งสอง มีความสัมพันธ์ $\kappa = k tan(\frac{k L}{2})$ และ $\kappa = - k cot(\frac{k L}{2})$ ตามลำดับ

ในการคำนวณระดับพลังงาน จะต้องใช้การวาดกราฟ เพื่อหาค่า $k$ ที่เหมาะสม แล้วนำมาคำนวณต่อยอด เป็นพลังงาน หรือ เป็นฟังก์ชันคลื่น แต่หากจะคำนวณให้ สะดวก ขึ้นไปอีก เราอาจใช้ระบบ Atomic Unit ที่วัดระยะทางเป็น Bohr และ พลังงานเป็น Hartree

สุดท้าย นำมาประยุกต์เพื่อศึกษาอะตอมไฮโดรเจน โมเดลอย่างง่ายที่เราใช้ ให้ผลลัพธ์ของพลังงานเท่ากับ $E_H^{\text{(Model)}} = -17.1 \text{ eV}$ เทียบกับค่าจริง $E_H= -13.6 \text{ eV}$ ก็นับว่าไม่เลวนัก แม้เป็นโมเดลที่มีข้อจำกัดอยู่หลายประเด็น

จากที่เกริ่นไว้ในตอนต้น ว่ามนต์เสน่ห์ของควอนตัม อยู่ที่การประยุกต์ใช้กับสิ่งที่เรา มองไม่เห็น และในหัวข้อต่อไป เราจะได้ศึกษาพันธะเคมีของโมเลกุลอย่างง่ายที่สุดในเอกภพ นั่นคือ $\text{H}_2$ ด้วยโมเดลของบ่อศักย์แบบ Double Well Potential ที่ได้ปูพื้นทางคณิตศาสตร์ไว้แล้วในตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา ตลอดจนบ่อศักย์แบบ Dirac Delta อันเป็นรูปแบบที่พบบ่อยครั้ง ในกลศาสตร์ควอนตัม

ด้วยรักและผูกพัน, ทีปานิส ชาชิโย

Keyword: กลศาสตร์ควอนตัม, อะตอม ไฮโดรเจน, Finite Square Well, Double Potential Well

อ้างอิง

• [1] หัวข้อที่ 1 "Semi-Finite Square Well" บทที่ 2 https://teepanis.blogspot.com/2018/03/semi-finite-square-well.html
• [2] หนังสือ "กลศาสตร์ควอนตัมระดับอุดมศึกษา" https://sites.google.com/site/siamphysics/intro-quantum/online-textbook