บ่อศักย์ควอนตัม Semi-Finite Square Well

โดย ทีปานิส ชาชิโย ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยนเรศวร

ในบทที่ 1 "สมการ Schrödinger" [อ้างอิง 1] เราได้เรียนรู้การแก้สมการควอนตัมด้วยโมเดลอย่างง่ายแบบ Infinite Square Well และนำมาศึกษาเทคโนโลยีใหม่ที่เรียกว่า "Quantum Dot" ซึ่งถูกนำมาใช้สร้างเม็ดสี ในจอโทรทัศน์รุ่นใหม่ล่าสุดของ Samsung นั้น [อ้างอิง 2]

ในหัวข้อต่อไปนี้ เราจะได้ศึกษาโมเดลที่ซับซ้อนมากขึ้น ทำให้ได้ผลการคำนวณที่แม่นยำและสมจริงยิ่งขึ้น กล่าวคือ อิเล็กตรอนไม่จำเป็นต้องถูกขังอยู่ในบ่อศักย์เสมอไป แต่มักมีความน่าจะเป็นอยู่บางส่วนที่จะกระโดดออกมาข้างนอก หรือบางครั้ง หลุดออกไปเป็นอิสระหากมันมีพลังงานมากพอ สถานการณ์เช่นนี้เราใช้โมเดลของพลังงานศักย์แบบ Finite Square Well ดังแสดงในภาพ 1a)

ภาพที่ 1 ระบบ Quantum Well และตัวอย่างการประยุกต์ใช้งาน

ภายในบ่อ อนุภาคจะเคลื่อนที่โดยปราศจากแรงลัพท์มากระทำกับมัน อีกนัยหนึ่ง พลังงานศักย์มีค่าคงที่ (เท่ากับศูนย์) อยู่ภายในช่วง $0 \lt x \lt L$ ในขณะที่ ขอบบ่อ ก็มิได้สูงเป็นอนันต์เหมือนเช่นเดิมที่ผ่านมา แต่มีความสูงจำกัด (Finite) อยู่ค่าหนึ่ง แทนด้วยสัญลักษณ์ $V_0$

บ่อศักย์ในลักษณะนี้บางครั้งเรียกว่า Quantum Well และถูกนำมาเป็นโมเดลในการออกแบบเทคโนโลยีจำนวนมาก เช่น 1) เลเซอร์ ใช้เป็น Pointer เวลานำเสนอผลงาน หรือเป็นหัวอ่าน เครื่องเล่น DVD 2) โซล่าเซลล์ หรือ 3) Thermoelectric ที่สามารถเปลี่ยนพลังงานความร้อนให้เป็นกระแสไฟฟ้า โดยเราจะกล่าวถึงการประยุกต์ใช้งาน Quantum Well ในตอนท้ายของบทนี้ หลังจากที่นักศึกษามีความเข้าใจในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ของมัน ดีพอสมควร

อย่างไรก็ตาม การจะแก้สมการเพื่อหาฟังก์ชันคลื่น $\psi(x)$ และพลังงาน $E$ ของโจทย์ข้อนี้ มีทั้ง 1) ความยุ่งเหยิงทางคณิตศาสตร์ และ 2) แนวคิด ที่ซับซ้อนขึ้นกว่าเดิม จนทำใหันักศึกษาจำนวนมากจับต้นชนปลายไม่ถูก ว่าส่วนใดเป็นเพียงรายละเอียดเชิงคณิตศาสตร์ที่แคบๆ จำเพาะเจาะจงอยู่กับโจทย์แต่ละข้อ และส่วนใด? คือหลักใหญ่ใจความทางฟิสิกส์ที่สามารถปรับประยุกต์ไปใช้ได้ในสถานการณ์อื่นๆ ตามต้องการ

ดังนั้น เราจะเริ่ม จาก โจทย์ ที่ ง่าย ขึ้น โดยตัดความยุ่งเหยิงทางคณิตศาสตร์ไปทั้งหมด แต่ยังคง แนวคิดที่ซับซ้อนทางฟิสิกส์ที่จำเป็น ไว้อย่างสมบูรณ์

ภาพที่ 2 Semi-Finite Square Well

ดังแสดงในภาพ 2a) คือบ่อศักย์ แบบ Semi-Finite Square Well ที่ขอบบ่อด้านซ้ายมือมีค่าเป็นอนันต์ ทำให้อนุภาคไม่สามารถทะลวงออกไปนอกบ่อจากจุดนี้ได้ ในขณะที่ด้านขวามือ ขอบบ่อ กลับมีค่าจำกัดเท่ากับ $V_0$ เปิดโอกาสให้อนุภาคมีความน่าจะเป็นที่จะออกไปอยู่ข้างนอก โดยผ่าน ขอบทางด้านขวามือ

ในหัวข้อนี้ เราสนใจจะแก้หาผลเฉลยของฟังก์ชันคลื่น $\psi(x)$ ตลอดจนพลังงาน $E$ ของบ่อศักย์ แบบ Semi-Finite Square Well

แบ่งบ่อศักย์ออกเป็นส่วนๆ, หาคำตอบทีละส่วน, แล้วนำมา "เย็บต่อกัน"

ดังแสดงในภาพที่ 2b เราแบ่งพื้นที่ออกเป็น 2 ส่วน

ในส่วนที่ (I) ซึ่งอยู่ภายในช่วง $0 \lt x \lt L$ เราเขียนสมการ Schrödinger เฉพาะในบริเวณนี้ได้ว่า

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi_I(x) = E \psi_I(x) ; \qquad (0 \lt x \lt L)$

(2.1)

สังเกตว่าในสมการข้างต้น ปราศจากเทอมของพลังงานศักย์ $V(x)\psi_I(x)$ เพราะ $V(x)=0$ ในพื้นที่ส่วนนี้ ทำให้มี ลักษณะไม่ต่างจากกรณี Infinite Square Well ในบทที่ 1 ดังนั้น ผลเฉลยอยู่ในรูปของ

$\psi_I(x) = A sin(k x) ; \qquad (0 \lt x \lt L)$

โดยเราจะต้องคำนวณหาค่า ของตัวแปร $A$ และ $k$ กันต่อไป

ในส่วนที่ (II) ซึ่งอยู่ในช่วง $L \leq x \lt \infty$ เราเขียนสมการ Schrödinger ในบริเวณนี้ได้ว่า

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi_{II}(x) + V_0 \psi_{II}(x)= E \psi_{II}(x) ; \qquad (L \leq x \lt \infty)$

(2.2)

เนื่องจากทั้ง $V_0$ และ $E$ ล้วนเป็นค่าคงที่ เราแก้สมการข้างต้นได้โดยไม่ยากนัก โดยนำค่าคงที่ทั้งสอง พร้อมทั้ง $-\tfrac{\hbar^2}{2m}$ มาไว้ทางขวามือของสมการ ทำให้

$\frac{d^2}{dx^2} \psi_{II}(x) = \frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2} \psi_{II}(x) ; \qquad (L \leq x \lt \infty)$

พิจารณากรณี ที่อนุภาคถูกจำกัดอยู่แต่ภายใน หรืออยู่ใกล้ๆกับบ่อศักย์ (Bound State) ดังนั้นมันมีพลังงานน้อยกว่าขอบบ่อ หรือ $E \lt V_0$

ข้อกำหนดข้างต้น สามารถตีความขยายผลถึงพฤติกรรมทางฟิสิกส์ที่ตามมาอีกหลายประเด็น แต่ตอนนี้ เพื่อไม่ให้การไล่เรียงเนื้อหาติดขัด แยกแตกปลายออกไปหลายส่วน เราจะเพียงกำหนดให้ $E \lt V_0$ แล้ววกกลับมาขยายความอีกทีหนึ่ง

เมื่อ $E \lt V_0$ ย่อมหมายถึงเทอม $\frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2}$ มีค่าเป็นบวก และจากสมการข้างต้น เราจะต้องหาฟังก์ชัน $\psi_{II}(x)$ ที่อนุพันธ์อันดับสองของมัน ยังคงเป็นบวก ของตัวมันเอง ฟังก์ชันที่เข้าเงื่อนไขนี้ ก็คือ Exponential $e^{+\kappa x}$ หรือ $e^{-\kappa x}$ แล้วเราจะเลือกอย่างใด?

เมื่อค่อยๆเลื่อนไปทางขวาตามแกน $x$ เราจะเคลื่อนไกลออกจากบ่อศักย์มากขึ้นเรื่อยๆ กรณีแรก $e^{+\kappa x}$ มีค่าเพิ่มขึ้น ทวีสูงขึ้นเป็นเอ็กซ์โพเนนเชียล นี้ส่งผลให้ฟังก์ชันคลื่น(รวมทั้งความน่าจะเป็น) มีค่าสูงขึ้นเป็นอนันต์ กล่าวคือ อนุภาคชอบที่จะหนีไปไกลที่สุดเท่าที่จะทำได้ ขัดเงื่อนไขที่ตั้งไว้แต่แรกว่า "ถูกจำกัดอยู่แต่ภายใน หรืออยู่ใกล้ๆกับบ่อศักย์" จึงต้องตัดผลเฉลย $e^{+\kappa x}$ ทิ้งไปโดยปริยาย

กรณีที่สอง $e^{-\kappa x}$ เป็นรูปแบบของ Exponential Decay คือ ลดลงเรื่อยๆจนเป็นศูนย์เมื่ออยู่ไกลมาก นี้เป็นว่า อนุภาคมีความน่าจะเป็นสูงสุด ที่จะอยู่ใกล้ๆกับบ่อศักย์ ซึ่งสอดคล้อง พอดีกับเงื่อนไขที่เราต้องการ จึงได้ว่า

$\psi_{II}(x) = B e^{-\kappa x} ; \qquad (L \leq x \lt \infty)$

ตัวแปร $B$ ที่เราใส่ไว้ข้างหน้า ก็เพื่อทำให้ผลเฉลยทางคณิตศาสตร์ อยู่ในรูปทั่วไป ไม่เฉพาะเจาะจงว่ามีค่าเป็นเท่าไหร่กันแน่ (ยกตัวอย่างเช่น ขั้นนี้เรายังไม่ทราบแน่ชัดว่า $\psi_{II}(x) = e^{-\kappa x}$ หรือ $\psi_{II}(x) = 3 e^{-\kappa x}$ หรือ $\psi_{II}(x) = 8 e^{-\kappa x}$ กันแน่!? เพราะล้วนทำให้สมการ (2.2) เป็นจริงทั้งสิ้น จึงต้องติด เป็นตัวแปร $B$ ไว้ก่อน เพื่อคำนวณหาค่าที่แท้จริงในภายหลัง)

มาถึงขั้นนี้ เราได้แยกบ่อศักย์ออกเป็นส่วนๆ พร้อมทั้งเขียนผลเฉลยของแต่ละส่วนออกมาได้แล้ว สรุปได้ว่า

$\psi_I(x) = A sin(k x) ; \qquad (0 \lt x \lt L)$	(2.3)
$\psi_{II}(x) = B e^{-\kappa x} ; \qquad \quad (L \leq x \lt \infty)$	(2.4)

จะเห็นว่าแต่ละฟังก์ชัน ต่างก็มีพื้นที่เขตอิทธิพลของตัวเอง และเพื่อจะได้ฟังก์ชันคลื่นที่สมบูรณ์ตลอดช่วง เราจะต้องสร้างสมการขึ้นมาอีกชุดหนึ่ง เพื่อวิเคราะห์ค่าของตัวแปร $A,k,B,\kappa$ ให้ครบถ้วน

"เย็บต่อกัน" ด้วยเงื่อนไข ความต่อเนื่อง ของฟังก์ชันคลื่น

ณ รอยต่อระหว่างพื้นที่ทั้งสอง $x=L$ ที่ทั้งฟังก์ชัน $\psi_I$ และ $\psi_{II}$ มาบรรจบกันพอดี ฟังก์ชันคลื่น จะต้องมีเส้นกราฟที่ต่อเนื่อง ไม่มีการหักงอ หรือขาดเป็นท่อนๆ และเพื่อให้นักศึกษาเข้าใจสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "ความต่อเนื่อง" ได้ง่ายขึ้น พิจารณาภาพที่ 3

ภาพที่ 3 การนำฟังก์ชันมาเย็บต่อกัน

ฟังก์ชันทางซ้าย คือ $f(x)$ ในขณะที่ทางขวาคือ $g(x)$ มาบรรจบกันที่จุด L

• ภาพ a) คือกรณีที่ทั้งสอง ขาดเป็นสองท่อน นี้แสดงว่าไม่ต่อเนื่องอย่างชัดเจน
• ภาพ b) คือกรณีที่เริ่มต่อติด แต่มีการหักงอ ในทางคณิตศาสตร์เขียนได้ว่า $f(L) = g(L)$ การหักงอที่ปรากฎ เกิดจากการที่ฟังก์ชันทั้งสอง มีความชันไม่เท่ากัน ดังแสดงโดยเส้นประในภาพ ว่าเอียงไปคนละทิศ ละทาง
• ภาพ c) คือการที่ทั้งสอง ต่อติดกัน หรือ "เย็บ ติด กัน" แนบชิดสนิทสมบูรณ์ แสดงว่าทั้ง 1) ค่าของฟังก์ชัน และ 2) ความชันของมัน ล้วนมีค่าเท่ากัน หรือเขียนได้เป็น 2 สมการ คือ $f(L) = g(L)$ และ $\frac{df}{dx} = \frac{dg}{dx}$ ณ $x = L$

วกกลับมาที่ฟังก์ชันคลื่นใน 2 บริเวณ $\psi_I$ และ $\psi_{II}$ เราสามารถใช้เงื่อนไขความต่อเนื่อง สร้างเป็น 2 สมการ คือ $\psi_I(L) = \psi_{II}(L)$ และ $\frac{d \psi_I}{dx} = \frac{d \psi_{II}}{dx}$ แล้วแทนค่า $x = L$ จะได้ว่า

$\quad A sin(k L) = B e^{-\kappa L}$	(2.5)
$k A cos(k L) = - \kappa B e^{-\kappa L}$	(2.6)

นี้เอง คือ 2 สมการที่เกิดขึ้น จากการเย็บรอยต่อ 1 ครั้ง และหากเป็นบ่อศักย์ที่ซับซ้อนมากขึ้น มีจำนวนรอยต่อมากยิ่งขึ้น จะได้จำนวนสมการเป็น 2 เท่า ของจำนวนรอยต่อที่มี อาทิเช่น กรณี Finite Square Well ดังในภาพ 1a) ที่มี 2 รอยต่อ เราสามารถสร้างได้ 2x2=4 สมการ โดยอาศัยวิธี "เย็บติดกัน" ดังกล่าว

สร้างสมการด้วยการโยงเข้าหาพลังงาน

ลำพังสมการ (2.5) และ (2.6) ไม่เพียงพอในการวิเคราะห์หาตัวแปรจำนวณ 4 ตัว คือ $A,k,B,\kappa$ เราสามารถสร้างสมการอีกจำนวนหนึ่ง ด้วยการโยงตัวแปร $k$ และ $\kappa$ เข้าหาพลังงาน โดยอาศัยสมการ Schrödinger ที่เขียนขึ้นในแต่ละพื้นที่ของตัวเอง กล่าวคือ

แทน $\psi_I(x)$ เข้าไปในสมการ (2.1) จะได้ความสัมพันธ์

$k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2}$

(2.7)

แทน $\psi_{II}(x)$ เข้าไปในสมการ (2.2) จะได้ว่า

$\kappa^2 = \frac{2 m (V_0-E)}{\hbar^2}$

(2.8)

ซึ่งเมื่อนำสมการ (2.7) และ (2.8) ข้างต้น มาบวกกันเข้าทั้งสองข้าง จะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง $k$ และ $\kappa$ อีกอันหนึ่ง

$k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$

(2.9)

สร้างสมการสุดท้าย ด้วย Normalization

จากบทที่ 1 เราทราบว่า Normalization หมายถึงการที่ความน่าจะเป็นสุทธิต้องมีค่าเท่ากับ 1 ซึ่งเมื่อโยงเข้ามาในบริบทของฟังก์ชันคลื่น จะได้ว่า

$\int_0^\infty \psi^2(x) dx = 1$

โดยเราสามารถประยุกต์ใช้กับฟังก์ชันคลื่นใน 2 ช่วง ดังในสมการ (2.3) และ (2.4) ได้ว่า

$\int_0^L \psi^2_{I}(x) dx + \int_L^\infty \psi^2_{II}(x) dx = 1$

หรือ

$A^2 \int_0^L sin^2(k x) dx + B^2 \int_L^\infty e^{-2 \kappa x} dx = 1$

(2.10)

กล่าวโดยสรุป เพื่อต้องการหาค่า ของตัวแปร $A,k,B,\kappa$ เราสร้างสมการขึ้นมาชุดหนึ่ง โดยอาศัย 3 กระบวนการด้วยกัน คือ 1) "เย็บติดกัน" 2) โยงเข้าหาพลังงาน และ 3) ด้วยหลักการ Normalization และก่อนที่เราจะถาโถมเข้าสู่คณิตศาสตร์ของการแก้สมการเหล่านี้ จะได้สรุปสมการทั้งสี่ ไว้อีกครั้งหนึ่ง

$\quad A sin(k L) = B e^{-\kappa L}$	(2.11)
$k A cos(k L) = - \kappa B e^{-\kappa L}$	(2.12)
$k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$	(2.13)
$A^2 \int_0^L sin^2(k x) dx + B^2 \int_L^\infty e^{-2 \kappa x} dx = 1$	(2.14)

---

ตัวอย่างโจทย์

จงสร้างสมการสำหรับบ่อศักย์แบบ Finite Square Well ในภาพ 1a) โดยสมมุติให้อนุภาคเป็นแบบ Bound State คืออยู่ภายใน หรือใกล้เคียงกับบ่อศักย์

วิธีทำ

แบ่งพื้นที่ออกเป็น 3 ส่วน (I) นอกบ่อด้านซ้าย (II) ในบ่อ และ (III) นอกบ่อด้านขวา จากนั้นเขียนสมการ Schrödinger ของแต่ละพื้นที่ออกมาได้ว่า

$\displaylines{ \qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi_{I}(x) + V_0 \psi_{I}(x)= E \psi_{I}(x) ; \qquad (-\infty \lt x \leq 0) \cr \qquad \qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi_{II}(x) = E \psi_{II}(x) ; \qquad (0 \lt x \lt L) \cr -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi_{III}(x) + V_0 \psi_{III}(x)= E \psi_{III}(x) ; \qquad (L \leq x \leq \infty) }$

สังเกตว่า พลังงาน $E$ เป็นตัวแปรเดียวกัน มีค่าเท่ากัน ทั้งใน 3 พื้นที่ เพราะมันเป็นสมบัติ(โดยภาพรวม)ของทั้งระบบ ไม่ได้จำเพาะเจาะจงอยู่กับบริเวณใดบริเวณหนึ่ง จากนั้น แก้สมการในแต่ละส่วน พร้อมติดตัวแปรที่ไม่ทราบค่าไว้ก่อน

$\displaylines{ \psi_{I}(x) = B_1 e^{+\kappa x} \qquad \qquad \qquad \quad \cr \psi_{II}(x) = A_1 sin(k x ) + A_2 cos(k x) \cr \psi_{III}(x) = B_2 e^{-\kappa x} \qquad \qquad \qquad \quad }$

ในพื้นที่ของ $\psi_{I}(x)$ มีเลขยกกำลังเป็น $+\kappa x$ ก็เพราะในบริเวณนี้ พิกัด $x$ ติดลบอยู่ก่อนแล้ว จึงทำให้ $e^{+\kappa x}$ มีค่าน้อยมากเมื่ออยู่ไกลจากบ่อศักย์ สอดคล้องกับเงื่อนไข Bound State ที่โจทย์กำหนดให้

ในพื้นที่ของ $\psi_{II}(x)$ มี 2 ฟังก์ชัน $sin$ และ $cos$ ปรากฎอยู่ เนื่องจาก ขอบบ่อด้านซ้าย ไม่ได้ สูงเป็นอนันต์ เราไม่อาจใช้เงื่อนไข $\psi(0) = 0$ มาตัด $cos$ ทิ้งไป (เหมือนที่เคยทำในกรณี Infinite Square Well) จึงต้องคงไว้ ทั้ง 2 ตัว

ในพื้นที่ของ $\psi_{III}(x)$ มีลักษณะเป็น Exponential Decay

จะเห็นว่ามีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าทั้งสิ้น 6 ตัว คือ $B_1, A_1, A_2, B_2, k, \kappa$ เราจึงจำเป็นต้องสร้าง 6 สมการขึ้นมาเช่นเดียวกัน และเมื่ออาศัยกระบวนการ "เย็บติดกัน" จะได้ 2x2 = 4 สมการ(เพราะมีอยู่สองรอยต่อ) กระบวนการโยง $k, \kappa$ เข้าหาพลังงาน ได้อีก 1 สมการ และสุดท้าย ใช้หลัก Normalization จึงครบ 6 พอดี

ณ รอยต่อ $x = 0$ เราเย็บ $\psi_{I}(x)$ และ $\psi_{II}(x)$ เข้าด้วยกัน ทำให้

$\displaylines{ B_1 = A_2 \cr \kappa B_1 = k A_1 }$

ณ รอยต่อ $x = L$ เราเย็บ $\psi_{II}(x)$ และ $\psi_{III}(x)$ เข้าด้วยกัน จะได้

$\displaylines{ A_1 sin(k L) + A_2 cos(k L) = B_2 e^{-\kappa L} \cr k A_1 cos(k L) - k A_2 sin(k L) = -\kappa B_2 e^{-\kappa L} }$

อีก 1 สมการได้จากการโยงเข้าหาพลังงาน กล่าวคือ แทน $\psi_{I}(x)$ และ $\psi_{II}(x)$ เข้าไปในสมการ Schrödinger ในพื้นที่ของตัวเอง จากนั้นทำผลลัพท์ที่ได้ มาบวกกันเข้า จะได้ว่า

$k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$

สุดท้าย เป็นการใช้เงื่อนไข Normalization กล่าวคือ

$\int_{-\infty}^0 \psi^2_{I}(x) dx + \int_0^L \psi^2_{II}(x) dx + \int_L^\infty \psi^2_{III}(x) dx = 1$

จึงได้สมการทั้ง 6 ข้างต้น เพื่อวิเคราะห์หา $B_1, A_1, A_2, B_2, k, \kappa$ ต่อไป ตอบ

---

คำนวณพลังงานของอนุภาค

ในจำนวนตัวแปรทั้ง 4 ของ Semi-Finite Square Well เราจะเริ่มด้วยการหาค่า $k, \kappa$ เสียก่อน ทั้งนี้เพราะตัวแปรทั้งสอง ยึดโยงอยู่กับพลังงานของระบบ $k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2}$ และ $\kappa^2 = \frac{2 m (V_0-E)}{\hbar^2}$ ดังในสมการ (2.7) และ (2.8) ดังนั้นหากเราทราบค่า $k, \kappa$ ก็จะทำให้ทราบระดับพลังงาน $E$ ของระบบโดยปริยาย

จากบทที่ 1 เราทราบว่า ระดับพลังงาน $E$ มีความสำคัญมากในการวิเคราะห์ของกลศาสตร์ควอนตัม เราใช้มันคำนวณสเปกตรัมการดูดกลืนแสง ของ Quantum Dot และในงานวิจัย พลังงานของโมเลกุล สามารถทำนายโครงสร้างทางเคมีของของมันได้อย่างแม่นยำ [อ้างอิง 3] นอกจากนี้ พลังงาน ยังเป็นฐานในการคำนวณแรงที่โมเลกุลได้รับ ทำให้สามารถจำลองการเคลื่อนที่ใน 3 มิติ ของแต่ละอะตอม ดังในภาพที่ 4 แสดงการจำลองที่เรียกว่า Quantum Molecular Dynamics ของอะตอมฮีเลียมพุ่งเข้าชนใจกลางของเบนซีน ด้วยโปรแกรม Siam Quantum

ภาพที่ 4 แสดงภาพการจำลอง Quantum Molecular Dynamics

วกกลับมาที่ Semi-Finite Square Well และสมการทั้ง 4 ที่เราสร้างขึ้น (2.11)-(2.14) เพื่อหาค่า $k, \kappa$ เราหารสมการ (2.11) ด้วย (2.12) เพื่อกำจัดตัวแปรอื่นที่ไม่เกี่ยวข้องออกไป ทำให้

$\kappa = -\frac{k}{tan(k L)}$

(2.15)

ผนวกกับสมการ (2.13) $k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$ ที่มีอยู่เดิม ประเด็นมีอยู่ว่า เราจะแก้หาค่า $k$ ได้อย่างไร ?

ความจริงที่ขมขื่นสำหรับบ่อศักย์ในลักษณะนี้ก็คือ เราไม่สามารถหาค่า $k$ ออกมาได้โดยตรง จำต้องใช้เครื่องคิดเลข หรือการวาดกราฟ ซึ่งจะว่าไป ขัดกับความพยายามตั้งแต่ต้นที่อุตส่าห์เขียนสมการเสียยืดยาว หวังแก้หาผลเฉลยออกมาเป็นรูปแบบคณิตศาสตร์ที่รัดกุมลงตัว หากท้ายที่สุดต้องใช้เครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์เข้าช่วย มิใยใช้คอมพิวเตอร์ตั้งแต่ต้น ไม่ต้องมาทดเลขให้วุ่นวายใจ

เราหาค่า $k,\kappa$ ที่ทำให้สมการ (2.13) และ (2.15) เป็นจริง ด้วยการวาดเส้นโค้ง 2 เส้นบนกราฟ โดยให้แกนนอนเป็น $k$ และแกนตั้งเป็น $\kappa$ ดังแสดงในภาพที่ 5 เส้นโค้งอันแรกคือวงกลม $k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$ แทนด้วยสีแดง ที่มีรัศมีเท่ากับ $\frac{\sqrt{2 m V_0}}{\hbar}$ เส้นโค้งที่สองคือ ฟังก์ชัน $\kappa = -\frac{k}{tan(k L)}$ แทนด้วยสีน้ำเงิน จุดที่กราฟทั้งสองตัดกัน คือจุด $k,\kappa$ ที่ทำให้สมการทั้งสอง เป็นจริง

ภาพที่ 5 การวาดกราฟเพื่อคำนวณค่า k (ปริมาณฟิสิกส์บนกราฟใช้ระบบหน่วยวัด Atomic Unit)

จากภาพจะเห็นว่า มีจุดตัดเกิดขึ้นเพียง 3 จุด แสดงว่าสถานะของอนุภาคที่เป็น Bound State มีเพียง 3 สถานะ โดยแต่ละสถานะ สามารถคำนวณพลังงานได้ โดยอาศัยค่า $k$ ที่อ่านจากกราฟ แล้วนำมาแทนในสูตร $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2 m}$

---

ตัวอย่างโจทย์

วิศวกรออกแบบระบบควอนตัมด้วยโมเดล Semi-Finite Square Well ต้องการสถานะพื้น $E_1$ ที่มีพลังงานเป็นกึ่งหนึ่ง ของขอบบ่อศักย์ซึ่งสูงเป็น $V_0 = 2 \text{eV}$ เขาจะต้องตัดชิ้นงานหนา กี่นาโนเมตร? (กำหนดให้อนุภาคมีมวลเป็น 0.067 เท่าของอิเล็กตรอน)

วิธีทำ

แม้ว่าในกรณีทั่วไป จำต้องใช้การวาดกราฟในการหาพลังงาน แต่หากเป็นกรณีพิเศษ เราสามารถคำตอบในรูปแบบคณิตศาตร์ที่สมบูรณ์ได้ โจทย์บอกว่า ต้องการ $E = \frac{V_0}{2}$ เราจะใช้ความสัมพันธ์อันนี้ แทนเข้าในสมการ (2.7) เพื่อหาค่า $k$

$k^2 = \frac{m V_0}{\hbar^2}$

จากนั้นคำนวณ $\kappa$ ด้วยสมการ (2.13)

$\kappa^2= \frac{m V_0}{\hbar^2}$

นี้เป็นว่า ในกรณีพิเศษที่โจทย์ต้องการนี้ มีเงื่อนไข $k = \kappa$ ซึ่งเมื่อแทนเข้าในสมการ (2.15) จะเชื่อมโยงไปถึง ความหนา $L$ ของบ่อศักย์

$tan(k L) = -1$

ในเนื้อหาของตรีโกณมิติ $tan(135^\circ) = -1$ ดังนั้น $k L = 135^\circ = \frac{3 \pi} {4}$ และเมื่อใช้หน่วยเรเดียน จะได้ว่า $L = \frac{3 \pi} {4 k}$ ผนวกกับ $k^2 = \frac{m V_0}{\hbar^2}$ ข้างต้น ทำให้ได้ข้อสรุปก็คือ

$L = \frac{3 \pi \hbar} {4 \sqrt{m V_0}}$

เราสามารถตรวจสอบการคำนวณข้างต้น ด้วยการวาดกราฟ ดังแสดงในภาพ ซึ่งจะพบว่า จุดตัดเกิดขึ้นเพียง 1 ครั้ง แสดงว่ามีสถานะ Bound State เพียงอันเดียว ทั้งยังตัดกัน ณ ตำแหน่ง $k=\kappa$ สอดคล้องกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ข้างต้น

เมื่อแทนค่ามวลและความสูงของบ่อศักย์ จะได้ L = 1.78 นาโนเมตร ตอบ

หมายเหตุ มวลที่ใช้ในโจทย์ข้อนี้คือมวลยังผลของอิเล็กตรอนในสาร GaAs (แกลเลียมอาซาไนต์) หนึ่งในส่วนประกอบยอดนิยมของโซล่าเซลล์ประสิทธิภาพสูง(สูงกว่าที่ทำด้วยซิลิกอน) และพลังงาน 2eV คือพลังงานของแสงสีเหลือง-แดง ความยาวคลื่น 612 นาโนเมตร (นอกจาก GaAs จะมีประสิทธิภาพสูงแล้วยังมีพิษต่อสิ่งแวดล้อม ในขณะที่ซิลิกอนคือสารที่อยู่ในเม็ดทรายธรรมดานี่เอง)

---

---

การบ้าน

จากสมการทั้ง 6 ของโมเดล Finite Square Well ในตัวอย่างโจทย์ จงเขียนสมการเพื่อใช้ในการแก้หา $k, \kappa$ อันจะนำไปสู่การคำนวณพลังงานของระบบ

เฉลย $k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$ และ $(k^2-\kappa^2)sin(k L ) - 2 k \kappa cos(k L) = 0$

---

---

การบ้าน Hardcore

ปรับตำแหน่งของบ่อศักย์ Finite Square Well เดิมในภาพ 1a) ให้กลายเป็นสมมาตรซ้ายขวา กล่าวคือ บ่ออยู่ระหว่าง $-\frac{L}{2} \lt x \lt +\frac{L}{2}$ จากนั้น ก) สร้างสมการที่เกี่ยวข้องกับ $k, \kappa$ และ ข) วาดกราฟแสดงให้เห็นว่า ผลเฉลยของ $k, \kappa$ (จุดตัดของกราฟ) มีค่าเท่ากัน กับการวางบ่อศักย์ในกรณีที่ผ่านมา

เฉลย ก) $k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$ และ $\kappa = k tan(\frac{k L}{2})$ สำหรับผลเฉลยแบบฟังก์ชันคู่ หรือ $\kappa = - k cot(\frac{k L}{2})$ สำหรับผลเฉลยแบบฟังก์ชันคี่

บอกใบ้ ข) ปรับรูป $(k^2-\kappa^2)sin(k L ) - 2 k \kappa cos(k L) = 0$ ให้เป็นสมการกำลังสอง $a \kappa^2 + b \kappa + c = 0$ จากนั้นถอดรากออกเป็น $\kappa = \frac{-k cos(k L) \pm k}{sin(k L)}$ แล้วใช้เอกลักษณ์ $sin(x) = 2 sin(\frac{x}{2}) cos(\frac{x}{2})$ และ $cos(x) = cos^2(\frac{x}{2}) - sin^2(\frac{x}{2})$ ตลอดจน $1 = cos^2(\frac{x}{2}) + sin^2(\frac{x}{2})$ ให้เป็นประโยชน์

---

---

ตัวอย่างโจทย์

วิศวกรออกแบบระบบควอนตัมด้วยโมเดล Finite Square Well ต้องการสถานะพื้น $E_1$ ที่มีพลังงานเป็น กึ่งหนึ่ง ของขอบบ่อศักย์ซึ่งมีความสูง $V_0$ เขาจะต้องตัดชิ้นงานให้มีความหนา $L$ เป็นเท่าใด?

วิธีทำ

ในทำนองเดียวกับตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา เงื่อนไข $E = \frac{V_0}{2}$ ส่งผลให้ $k = \kappa$ ซึ่งเมื่อพิจารณาความสัมพันธ์ $(k^2-\kappa^2)sin(k L ) - 2 k \kappa cos(k L) = 0$ ของ Finite Square Well แล้วพบว่า

$cos(k L) = 0$

กล่าวคือ $k L$ เท่ากับมุม 90 องศา หรือ $k L = \frac{\pi}{2}$ ดังนั้นจะได้ว่า

$L = \frac{\pi \hbar} {2 \sqrt{m V_0}} \qquad$ ตอบ

---

คำนวณฟังก์ชันคลื่น

หลังจากที่ได้คำนวณค่า $k$ ในหัวข้อที่ผ่านมา ด้วยการวาดกราฟก็ดี หรืออาศัยกรณีพิเศษดังในตัวอย่างโจทย์ก็ดี ก็จะได้ $\kappa$ โดยปริยาย เพราะจากสมการ (2.15) $\kappa = -\frac{k}{tan(k L)}$ และในขั้นสุดท้าย เราจะคำนวณตัวแปร $A, B$ เพื่อจะได้รูปแบบของฟังก์ชันคลื่น ที่สมบูรณ์

จากสมการ (2.11) เราเขียน $B = A e^{\kappa L} sin(k L)$ เพราะฉะนั้น ฟังก์ชันคลื่นในพื้นที่ (II) อยู่ในรูป

$\psi_{II} = A e^{\kappa L} sin(k L) e^{-\kappa x}$

โดยเราสามารถคำนวณค่า $A$ ได้จากเงื่อนไข Normalization ในสมการ (2.14) กล่าวคือ

$A^2 \int_0^L sin^2(k x) dx + A^2 e^{2 \kappa L} sin^2(k L) \int_L^\infty e^{-2 \kappa x} dx = 1$

อาศัยผลการอินทิเกรต $\int_0^L sin^2(k x) dx = \frac{L}{2} - \frac{sin(2 k L)}{4 k}$ และ $\int_L^\infty e^{-2 \kappa x} dx = \frac{e^{-2 \kappa L}}{2 \kappa}$ เราคำนวณค่า $A$ ได้ว่า

$A = \frac{1}{\sqrt{ \frac{L}{2} - \frac{sin(2 k L)}{4 k} + \frac{sin^2(k L)}{2 \kappa} } }$

จัดรูปให้แลดูสวยงาม ด้วยความสัมพันธ์ในสมการ (2.15) $k = - \kappa tan(k L)$ ทำให้ $- \frac{sin(2 k L)}{4 k} = \frac{2 sin(k L) cos( k L)}{4 \kappa tan(k L)} = \frac{cos^2(k L)}{2 \kappa}$ ดังนั้น $A$ ข้างต้น ลดรูปเหลือเพียง

$A = \sqrt{ \frac{2 \kappa} {\kappa L + 1} }$

หากใช้ข้อมูลของมวลและบ่อศักย์ดังในภาพที่ 5 จะสามารถวาดฟังก์ชันคลื่นดังแสดงในภาพที่ 6

ภาพที่ 6 แสดงฟังก์ชันคลื่นของสองสถานะ (แกนนอนในหน่วย Bohr, 2 นาโนเมตร = 37.8 Bohr)

ตรวจสอบด้วยสายตา พบว่าลักษณะของฟังก์ชันมีการต่อเนื่อง ดังที่กำหนดไว้ในขั้นตอนทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไป การวิเคราะห์หาฟังก์ชันคลื่นมักมิได้ใช่บ่อยครั้งนักในกลศาสตร์ควอนตัม ดังนั้น นักศึกษามีโอกาสน้อยที่จะต้องพบกับความโหดร้ายของคณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์ของหัวข้อนี้

---

การบ้าน

ในกรณีพิเศษที่กำหนดให้ พลังงานของอนุภาค มีค่าเป็นกึ่งหนึ่ง ของขอบบ่อในตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา จงคำนวณว่าอนุภาคมีโอกาสกี่ % ที่จะอยู่ภายนอกบ่อศักย์ (Semi-Finite Square Well)

เฉลย ความน่าจะเป็น $\frac{2}{3\pi+4}$ คิดเป็น 14.9%

---

สรุป

ในเบื้องต้นนี้ เราได้ศึกษาวิธีคำนวณฟังก์ชันคลื่น และที่สำคัญ พลังงานของระบบ Semi-Finite Square ด้วยการแบ่งบ่อศักย์ออกเป็นส่วนๆ หาคำตอบทีละส่วน แล้วนำมา "เย็บต่อกัน" โดยอาศัยเงื่อนไขความต่อเนื่อง ซึ่งก็คือ ฟังก์ชันจะต้องมีค่าเท่ากัน และมีความชันเท่ากัน ณ บริเวณรอยต่อ

การสร้างผลเฉลย จะทำให้เกิดตัวแปรที่ไม่ทราบค่า ซึ่งเราจะต้องหา ด้วยการสร้างสมการขึ้นมาชุดหนึ่ง อันประกอบด้วย 1) สมการ ณ รอยต่อ 2) สมการที่เกิดจากการโยงเข้าหาพลังงาน และ 3) สมการของ Normalization และถึงแม้จะเป็นเพียงโจทย์ที่ถูกลดรูปให้ง่ายขึ้น แต่โดยไม่รู้ตัว เราได้สร้างสมการของ Finite Square Well ขึ้นมาอย่างง่ายดาย โดยอาศัยความเข้าใจของโจทย์อย่างง่ายอันนี้ เป็นพื้นฐาน

ในลำดับต่อไป จะมีอีกหลายประเด็นที่เราต้องขยายความให้ชัดเจน

• กรณีที่ $E > V_0$ จนทำให้อนุภาคหนีออกไปไกลจากบ่อ มีลักษณะอย่างไร?
• เงื่อนไขที่ว่า ฟังก์ชันคลื่น มีความต่อเนื่อง มีข้อยกเว้นหรือเปล่า?
• การประยุกต์ใช้งานของ Quantum Well ดังที่เกริ่นไว้ตอนต้น ว่าใช้สร้างเลเซอร์ โซล่าเซลล์ หรือ Thermoelectric มีรายละเอียดอย่างไร?
• โจทย์วิจัยต่างๆที่เกี่ยวข้อง ที่สามารถให้นักศึกษา ค้นคว้าเพิ่มเติมหรือต่อยอดไปเป็นโปรเจคขนาดย่อม มีแนวทางใดบ้าง?

ด้วยรักและผูกพัน, ทีปานิส ชาชิโย

Keyword: กลศาสตร์ควอนตัม, สมการชโรดิงเจอร์

อ้างอิง

• [1] หนังสือ "กลศาสตร์ควอนตัมระดับอุดมศึกษา" https://sites.google.com/site/siamphysics/intro-quantum/online-textbook
• [2] Samsumg QLED Display
• [3] Siam Quantum โปรแกรมจำลองโมเลกุลในสาขาเคมีควอนตัม https://sites.google.com/site/siamquantum/