โดย ทีปานิส ชาชิโย ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยนเรศวร
ในบทที่ 1 "สมการ Schrödinger" [อ้างอิง 1] เราได้เรียนรู้การแก้สมการควอนตัมด้วยโมเดลอย่างง่ายแบบ Infinite Square Well และนำมาศึกษาเทคโนโลยีใหม่ที่เรียกว่า "Quantum Dot" ซึ่งถูกนำมาใช้สร้างเม็ดสี ในจอโทรทัศน์รุ่นใหม่ล่าสุดของ Samsung นั้น [อ้างอิง 2]
ในหัวข้อต่อไปนี้ เราจะได้ศึกษาโมเดลที่ซับซ้อนมากขึ้น ทำให้ได้ผลการคำนวณที่แม่นยำและสมจริงยิ่งขึ้น กล่าวคือ อิเล็กตรอนไม่จำเป็นต้องถูกขังอยู่ในบ่อศักย์เสมอไป แต่มักมีความน่าจะเป็นอยู่บางส่วนที่จะกระโดดออกมาข้างนอก หรือบางครั้ง หลุดออกไปเป็นอิสระหากมันมีพลังงานมากพอ สถานการณ์เช่นนี้เราใช้โมเดลของพลังงานศักย์แบบ Finite Square Well ดังแสดงในภาพ 1a)
ภายในบ่อ อนุภาคจะเคลื่อนที่โดยปราศจากแรงลัพท์มากระทำกับมัน อีกนัยหนึ่ง พลังงานศักย์มีค่าคงที่ (เท่ากับศูนย์) อยู่ภายในช่วง \$ 0 \lt x \lt L \$ ในขณะที่ ขอบบ่อ ก็มิได้สูงเป็นอนันต์เหมือนเช่นเดิมที่ผ่านมา แต่มีความสูงจำกัด (Finite) อยู่ค่าหนึ่ง แทนด้วยสัญลักษณ์ \$ V_0 \$
บ่อศักย์ในลักษณะนี้บางครั้งเรียกว่า Quantum Well และถูกนำมาเป็นโมเดลในการออกแบบเทคโนโลยีจำนวนมาก เช่น 1) เลเซอร์ ใช้เป็น Pointer เวลานำเสนอผลงาน หรือเป็นหัวอ่าน เครื่องเล่น DVD 2) โซล่าเซลล์ หรือ 3) Thermoelectric ที่สามารถเปลี่ยนพลังงานความร้อนให้เป็นกระแสไฟฟ้า โดยเราจะกล่าวถึงการประยุกต์ใช้งาน Quantum Well ในตอนท้ายของบทนี้ หลังจากที่นักศึกษามีความเข้าใจในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ของมัน ดีพอสมควร
อย่างไรก็ตาม การจะแก้สมการเพื่อหาฟังก์ชันคลื่น \$ \psi(x) \$ และพลังงาน \$ E \$ ของโจทย์ข้อนี้ มีทั้ง 1) ความยุ่งเหยิงทางคณิตศาสตร์ และ 2) แนวคิด ที่ซับซ้อนขึ้นกว่าเดิม จนทำใหันักศึกษาจำนวนมากจับต้นชนปลายไม่ถูก ว่าส่วนใดเป็นเพียงรายละเอียดเชิงคณิตศาสตร์ที่แคบๆ จำเพาะเจาะจงอยู่กับโจทย์แต่ละข้อ และส่วนใด? คือหลักใหญ่ใจความทางฟิสิกส์ที่สามารถปรับประยุกต์ไปใช้ได้ในสถานการณ์อื่นๆ ตามต้องการ
ดังนั้น เราจะเริ่ม จาก โจทย์ ที่ ง่าย ขึ้น โดยตัดความยุ่งเหยิงทางคณิตศาสตร์ไปทั้งหมด แต่ยังคง แนวคิดที่ซับซ้อนทางฟิสิกส์ที่จำเป็น ไว้อย่างสมบูรณ์
ดังแสดงในภาพ 2a) คือบ่อศักย์ แบบ Semi-Finite Square Well ที่ขอบบ่อด้านซ้ายมือมีค่าเป็นอนันต์ ทำให้อนุภาคไม่สามารถทะลวงออกไปนอกบ่อจากจุดนี้ได้ ในขณะที่ด้านขวามือ ขอบบ่อ กลับมีค่าจำกัดเท่ากับ \$ V_0 \$ เปิดโอกาสให้อนุภาคมีความน่าจะเป็นที่จะออกไปอยู่ข้างนอก โดยผ่าน ขอบทางด้านขวามือ
ในหัวข้อนี้ เราสนใจจะแก้หาผลเฉลยของฟังก์ชันคลื่น \$ \psi(x) \$ ตลอดจนพลังงาน \$ E \$ ของบ่อศักย์ แบบ Semi-Finite Square Well
แบ่งบ่อศักย์ออกเป็นส่วนๆ, หาคำตอบทีละส่วน, แล้วนำมา "เย็บต่อกัน"
ดังแสดงในภาพที่ 2b เราแบ่งพื้นที่ออกเป็น 2 ส่วน
ในส่วนที่ (I) ซึ่งอยู่ภายในช่วง \$ 0 \lt x \lt L \$ เราเขียนสมการ Schrödinger เฉพาะในบริเวณนี้ได้ว่า
| \$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi_I(x) = E \psi_I(x) ; \qquad (0 \lt x \lt L) \$ | (2.1) |
สังเกตว่าในสมการข้างต้น ปราศจากเทอมของพลังงานศักย์ \$ V(x)\psi_I(x) \$ เพราะ \$ V(x)=0\$ ในพื้นที่ส่วนนี้ ทำให้มี ลักษณะไม่ต่างจากกรณี Infinite Square Well ในบทที่ 1 ดังนั้น ผลเฉลยอยู่ในรูปของ
โดยเราจะต้องคำนวณหาค่า ของตัวแปร \$ A \$ และ \$ k\$ กันต่อไป
ในส่วนที่ (II) ซึ่งอยู่ในช่วง \$ L \leq x \lt \infty \$ เราเขียนสมการ Schrödinger ในบริเวณนี้ได้ว่า
| \$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi_{II}(x) + V_0 \psi_{II}(x)= E \psi_{II}(x) ; \qquad (L \leq x \lt \infty) \$ | (2.2) |
เนื่องจากทั้ง \$ V_0\$ และ \$ E \$ ล้วนเป็นค่าคงที่ เราแก้สมการข้างต้นได้โดยไม่ยากนัก โดยนำค่าคงที่ทั้งสอง พร้อมทั้ง \$ -\tfrac{\hbar^2}{2m} \$ มาไว้ทางขวามือของสมการ ทำให้
ข้อกำหนดข้างต้น สามารถตีความขยายผลถึงพฤติกรรมทางฟิสิกส์ที่ตามมาอีกหลายประเด็น แต่ตอนนี้ เพื่อไม่ให้การไล่เรียงเนื้อหาติดขัด แยกแตกปลายออกไปหลายส่วน เราจะเพียงกำหนดให้ \$ E \lt V_0\$ แล้ววกกลับมาขยายความอีกทีหนึ่ง
เมื่อ \$ E \lt V_0\$ ย่อมหมายถึงเทอม \$ \frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2} \$ มีค่าเป็นบวก และจากสมการข้างต้น เราจะต้องหาฟังก์ชัน \$ \psi_{II}(x) \$ ที่อนุพันธ์อันดับสองของมัน ยังคงเป็นบวก ของตัวมันเอง ฟังก์ชันที่เข้าเงื่อนไขนี้ ก็คือ Exponential \$ e^{+\kappa x} \$ หรือ \$ e^{-\kappa x} \$ แล้วเราจะเลือกอย่างใด?
เมื่อค่อยๆเลื่อนไปทางขวาตามแกน \$ x \$ เราจะเคลื่อนไกลออกจากบ่อศักย์มากขึ้นเรื่อยๆ กรณีแรก \$ e^{+\kappa x} \$ มีค่าเพิ่มขึ้น ทวีสูงขึ้นเป็นเอ็กซ์โพเนนเชียล นี้ส่งผลให้ฟังก์ชันคลื่น(รวมทั้งความน่าจะเป็น) มีค่าสูงขึ้นเป็นอนันต์ กล่าวคือ อนุภาคชอบที่จะหนีไปไกลที่สุดเท่าที่จะทำได้ ขัดเงื่อนไขที่ตั้งไว้แต่แรกว่า "ถูกจำกัดอยู่แต่ภายใน หรืออยู่ใกล้ๆกับบ่อศักย์" จึงต้องตัดผลเฉลย \$ e^{+\kappa x} \$ ทิ้งไปโดยปริยาย
กรณีที่สอง \$ e^{-\kappa x} \$ เป็นรูปแบบของ Exponential Decay คือ ลดลงเรื่อยๆจนเป็นศูนย์เมื่ออยู่ไกลมาก นี้เป็นว่า อนุภาคมีความน่าจะเป็นสูงสุด ที่จะอยู่ใกล้ๆกับบ่อศักย์ ซึ่งสอดคล้อง พอดีกับเงื่อนไขที่เราต้องการ จึงได้ว่า
ตัวแปร \$ B \$ ที่เราใส่ไว้ข้างหน้า ก็เพื่อทำให้ผลเฉลยทางคณิตศาสตร์ อยู่ในรูปทั่วไป ไม่เฉพาะเจาะจงว่ามีค่าเป็นเท่าไหร่กันแน่ (ยกตัวอย่างเช่น ขั้นนี้เรายังไม่ทราบแน่ชัดว่า \$ \psi_{II}(x) = e^{-\kappa x} \$ หรือ \$ \psi_{II}(x) = 3 e^{-\kappa x} \$ หรือ \$ \psi_{II}(x) = 8 e^{-\kappa x} \$ กันแน่!? เพราะล้วนทำให้สมการ (2.2) เป็นจริงทั้งสิ้น จึงต้องติด เป็นตัวแปร \$ B \$ ไว้ก่อน เพื่อคำนวณหาค่าที่แท้จริงในภายหลัง)
มาถึงขั้นนี้ เราได้แยกบ่อศักย์ออกเป็นส่วนๆ พร้อมทั้งเขียนผลเฉลยของแต่ละส่วนออกมาได้แล้ว สรุปได้ว่า
| \$ \psi_I(x) = A sin(k x) ; \qquad (0 \lt x \lt L) \$ | (2.3) |
| \$ \psi_{II}(x) = B e^{-\kappa x} ; \qquad \quad (L \leq x \lt \infty) \$ | (2.4) |
จะเห็นว่าแต่ละฟังก์ชัน ต่างก็มีพื้นที่เขตอิทธิพลของตัวเอง และเพื่อจะได้ฟังก์ชันคลื่นที่สมบูรณ์ตลอดช่วง เราจะต้องสร้างสมการขึ้นมาอีกชุดหนึ่ง เพื่อวิเคราะห์ค่าของตัวแปร \$ A,k,B,\kappa \$ ให้ครบถ้วน
"เย็บต่อกัน" ด้วยเงื่อนไข ความต่อเนื่อง ของฟังก์ชันคลื่น
ณ รอยต่อระหว่างพื้นที่ทั้งสอง \$ x=L \$ ที่ทั้งฟังก์ชัน \$ \psi_I \$ และ \$ \psi_{II} \$ มาบรรจบกันพอดี ฟังก์ชันคลื่น จะต้องมีเส้นกราฟที่ต่อเนื่อง ไม่มีการหักงอ หรือขาดเป็นท่อนๆ และเพื่อให้นักศึกษาเข้าใจสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "ความต่อเนื่อง" ได้ง่ายขึ้น พิจารณาภาพที่ 3
ภาพที่ 3 การนำฟังก์ชันมาเย็บต่อกัน
ฟังก์ชันทางซ้าย คือ \$ f(x)\$ ในขณะที่ทางขวาคือ \$ g(x) \$ มาบรรจบกันที่จุด L
- ภาพ a) คือกรณีที่ทั้งสอง ขาดเป็นสองท่อน นี้แสดงว่าไม่ต่อเนื่องอย่างชัดเจน
- ภาพ b) คือกรณีที่เริ่มต่อติด แต่มีการหักงอ ในทางคณิตศาสตร์เขียนได้ว่า \$ f(L) = g(L) \$ การหักงอที่ปรากฎ เกิดจากการที่ฟังก์ชันทั้งสอง มีความชันไม่เท่ากัน ดังแสดงโดยเส้นประในภาพ ว่าเอียงไปคนละทิศ ละทาง
- ภาพ c) คือการที่ทั้งสอง ต่อติดกัน หรือ "เย็บ ติด กัน" แนบชิดสนิทสมบูรณ์ แสดงว่าทั้ง 1) ค่าของฟังก์ชัน และ 2) ความชันของมัน ล้วนมีค่าเท่ากัน หรือเขียนได้เป็น 2 สมการ คือ \$ f(L) = g(L) \$ และ \$ \frac{df}{dx} = \frac{dg}{dx}\$ ณ \$ x = L \$
วกกลับมาที่ฟังก์ชันคลื่นใน 2 บริเวณ \$ \psi_I \$ และ \$ \psi_{II} \$ เราสามารถใช้เงื่อนไขความต่อเนื่อง สร้างเป็น 2 สมการ คือ \$ \psi_I(L) = \psi_{II}(L) \$ และ \$ \frac{d \psi_I}{dx} = \frac{d \psi_{II}}{dx} \$ แล้วแทนค่า \$ x = L \$ จะได้ว่า
| \$ \quad A sin(k L) = B e^{-\kappa L} \$ | (2.5) |
| \$ k A cos(k L) = - \kappa B e^{-\kappa L} \$ | (2.6) |
นี้เอง คือ 2 สมการที่เกิดขึ้น จากการเย็บรอยต่อ 1 ครั้ง และหากเป็นบ่อศักย์ที่ซับซ้อนมากขึ้น มีจำนวนรอยต่อมากยิ่งขึ้น จะได้จำนวนสมการเป็น 2 เท่า ของจำนวนรอยต่อที่มี อาทิเช่น กรณี Finite Square Well ดังในภาพ 1a) ที่มี 2 รอยต่อ เราสามารถสร้างได้ 2x2=4 สมการ โดยอาศัยวิธี "เย็บติดกัน" ดังกล่าว
สร้างสมการด้วยการโยงเข้าหาพลังงาน
ลำพังสมการ (2.5) และ (2.6) ไม่เพียงพอในการวิเคราะห์หาตัวแปรจำนวณ 4 ตัว คือ \$ A,k,B,\kappa \$ เราสามารถสร้างสมการอีกจำนวนหนึ่ง ด้วยการโยงตัวแปร \$ k \$ และ \$ \kappa \$ เข้าหาพลังงาน โดยอาศัยสมการ Schrödinger ที่เขียนขึ้นในแต่ละพื้นที่ของตัวเอง กล่าวคือ
แทน \$ \psi_I(x) \$ เข้าไปในสมการ (2.1) จะได้ความสัมพันธ์
| \$ k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2} \$ | (2.7) |
แทน \$ \psi_{II}(x) \$ เข้าไปในสมการ (2.2) จะได้ว่า
| \$ \kappa^2 = \frac{2 m (V_0-E)}{\hbar^2} \$ | (2.8) |
ซึ่งเมื่อนำสมการ (2.7) และ (2.8) ข้างต้น มาบวกกันเข้าทั้งสองข้าง จะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง \$ k \$ และ \$ \kappa \$ อีกอันหนึ่ง
| \$ k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2} \$ | (2.9) |
สร้างสมการสุดท้าย ด้วย Normalization
จากบทที่ 1 เราทราบว่า Normalization หมายถึงการที่ความน่าจะเป็นสุทธิต้องมีค่าเท่ากับ 1 ซึ่งเมื่อโยงเข้ามาในบริบทของฟังก์ชันคลื่น จะได้ว่า
โดยเราสามารถประยุกต์ใช้กับฟังก์ชันคลื่นใน 2 ช่วง ดังในสมการ (2.3) และ (2.4) ได้ว่า
หรือ
| \$ A^2 \int_0^L sin^2(k x) dx + B^2 \int_L^\infty e^{-2 \kappa x} dx = 1 \$ | (2.10) |
กล่าวโดยสรุป เพื่อต้องการหาค่า ของตัวแปร \$ A,k,B,\kappa \$ เราสร้างสมการขึ้นมาชุดหนึ่ง โดยอาศัย 3 กระบวนการด้วยกัน คือ 1) "เย็บติดกัน" 2) โยงเข้าหาพลังงาน และ 3) ด้วยหลักการ Normalization และก่อนที่เราจะถาโถมเข้าสู่คณิตศาสตร์ของการแก้สมการเหล่านี้ จะได้สรุปสมการทั้งสี่ ไว้อีกครั้งหนึ่ง
| \$ \quad A sin(k L) = B e^{-\kappa L} \$ | (2.11) |
| \$ k A cos(k L) = - \kappa B e^{-\kappa L} \$ | (2.12) |
| \$ k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2} \$ | (2.13) |
| \$ A^2 \int_0^L sin^2(k x) dx + B^2 \int_L^\infty e^{-2 \kappa x} dx = 1 \$ | (2.14) |
ตัวอย่างโจทย์
จงสร้างสมการสำหรับบ่อศักย์แบบ Finite Square Well ในภาพ 1a) โดยสมมุติให้อนุภาคเป็นแบบ Bound State คืออยู่ภายใน หรือใกล้เคียงกับบ่อศักย์
วิธีทำแบ่งพื้นที่ออกเป็น 3 ส่วน (I) นอกบ่อด้านซ้าย (II) ในบ่อ และ (III) นอกบ่อด้านขวา จากนั้นเขียนสมการ Schrödinger ของแต่ละพื้นที่ออกมาได้ว่า
สังเกตว่า พลังงาน \$ E \$ เป็นตัวแปรเดียวกัน มีค่าเท่ากัน ทั้งใน 3 พื้นที่ เพราะมันเป็นสมบัติ(โดยภาพรวม)ของทั้งระบบ ไม่ได้จำเพาะเจาะจงอยู่กับบริเวณใดบริเวณหนึ่ง จากนั้น แก้สมการในแต่ละส่วน พร้อมติดตัวแปรที่ไม่ทราบค่าไว้ก่อน
ในพื้นที่ของ \$ \psi_{I}(x) \$ มีเลขยกกำลังเป็น \$ +\kappa x \$ ก็เพราะในบริเวณนี้ พิกัด \$ x \$ ติดลบอยู่ก่อนแล้ว จึงทำให้ \$ e^{+\kappa x} \$ มีค่าน้อยมากเมื่ออยู่ไกลจากบ่อศักย์ สอดคล้องกับเงื่อนไข Bound State ที่โจทย์กำหนดให้
ในพื้นที่ของ \$ \psi_{II}(x) \$ มี 2 ฟังก์ชัน \$ sin \$ และ \$ cos \$ ปรากฎอยู่ เนื่องจาก ขอบบ่อด้านซ้าย ไม่ได้ สูงเป็นอนันต์ เราไม่อาจใช้เงื่อนไข \$ \psi(0) = 0 \$ มาตัด \$ cos \$ ทิ้งไป (เหมือนที่เคยทำในกรณี Infinite Square Well) จึงต้องคงไว้ ทั้ง 2 ตัว
ในพื้นที่ของ \$ \psi_{III}(x) \$ มีลักษณะเป็น Exponential Decay
จะเห็นว่ามีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าทั้งสิ้น 6 ตัว คือ \$ B_1, A_1, A_2, B_2, k, \kappa \$ เราจึงจำเป็นต้องสร้าง 6 สมการขึ้นมาเช่นเดียวกัน และเมื่ออาศัยกระบวนการ "เย็บติดกัน" จะได้ 2x2 = 4 สมการ(เพราะมีอยู่สองรอยต่อ) กระบวนการโยง \$ k, \kappa \$ เข้าหาพลังงาน ได้อีก 1 สมการ และสุดท้าย ใช้หลัก Normalization จึงครบ 6 พอดี
ณ รอยต่อ \$ x = 0 \$ เราเย็บ \$ \psi_{I}(x) \$ และ \$ \psi_{II}(x) \$ เข้าด้วยกัน ทำให้
ณ รอยต่อ \$ x = L \$ เราเย็บ \$ \psi_{II}(x) \$ และ \$ \psi_{III}(x) \$ เข้าด้วยกัน จะได้
อีก 1 สมการได้จากการโยงเข้าหาพลังงาน กล่าวคือ แทน \$ \psi_{I}(x) \$ และ \$ \psi_{II}(x) \$ เข้าไปในสมการ Schrödinger ในพื้นที่ของตัวเอง จากนั้นทำผลลัพท์ที่ได้ มาบวกกันเข้า จะได้ว่า
สุดท้าย เป็นการใช้เงื่อนไข Normalization กล่าวคือ
จึงได้สมการทั้ง 6 ข้างต้น เพื่อวิเคราะห์หา \$ B_1, A_1, A_2, B_2, k, \kappa \$ ต่อไป ตอบ
คำนวณพลังงานของอนุภาค
ในจำนวนตัวแปรทั้ง 4 ของ Semi-Finite Square Well เราจะเริ่มด้วยการหาค่า \$ k, \kappa \$ เสียก่อน ทั้งนี้เพราะตัวแปรทั้งสอง ยึดโยงอยู่กับพลังงานของระบบ \$ k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2} \$ และ \$ \kappa^2 = \frac{2 m (V_0-E)}{\hbar^2} \$ ดังในสมการ (2.7) และ (2.8) ดังนั้นหากเราทราบค่า \$ k, \kappa \$ ก็จะทำให้ทราบระดับพลังงาน \$ E \$ ของระบบโดยปริยาย
จากบทที่ 1 เราทราบว่า ระดับพลังงาน \$ E \$ มีความสำคัญมากในการวิเคราะห์ของกลศาสตร์ควอนตัม เราใช้มันคำนวณสเปกตรัมการดูดกลืนแสง ของ Quantum Dot และในงานวิจัย พลังงานของโมเลกุล สามารถทำนายโครงสร้างทางเคมีของของมันได้อย่างแม่นยำ [อ้างอิง 3] นอกจากนี้ พลังงาน ยังเป็นฐานในการคำนวณแรงที่โมเลกุลได้รับ ทำให้สามารถจำลองการเคลื่อนที่ใน 3 มิติ ของแต่ละอะตอม ดังในภาพที่ 4 แสดงการจำลองที่เรียกว่า Quantum Molecular Dynamics ของอะตอมฮีเลียมพุ่งเข้าชนใจกลางของเบนซีน ด้วยโปรแกรม Siam Quantum
ภาพที่ 4 แสดงภาพการจำลอง Quantum Molecular Dynamics
วกกลับมาที่ Semi-Finite Square Well และสมการทั้ง 4 ที่เราสร้างขึ้น (2.11)-(2.14) เพื่อหาค่า \$ k, \kappa \$ เราหารสมการ (2.11) ด้วย (2.12) เพื่อกำจัดตัวแปรอื่นที่ไม่เกี่ยวข้องออกไป ทำให้
| \$ \kappa = -\frac{k}{tan(k L)}\$ | (2.15) |
ผนวกกับสมการ (2.13) \$ k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2} \$ ที่มีอยู่เดิม ประเด็นมีอยู่ว่า เราจะแก้หาค่า \$ k \$ ได้อย่างไร ?
ความจริงที่ขมขื่นสำหรับบ่อศักย์ในลักษณะนี้ก็คือ เราไม่สามารถหาค่า \$ k \$ ออกมาได้โดยตรง จำต้องใช้เครื่องคิดเลข หรือการวาดกราฟ ซึ่งจะว่าไป ขัดกับความพยายามตั้งแต่ต้นที่อุตส่าห์เขียนสมการเสียยืดยาว หวังแก้หาผลเฉลยออกมาเป็นรูปแบบคณิตศาสตร์ที่รัดกุมลงตัว หากท้ายที่สุดต้องใช้เครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์เข้าช่วย มิใยใช้คอมพิวเตอร์ตั้งแต่ต้น ไม่ต้องมาทดเลขให้วุ่นวายใจ
เราหาค่า \$ k,\kappa \$ ที่ทำให้สมการ (2.13) และ (2.15) เป็นจริง ด้วยการวาดเส้นโค้ง 2 เส้นบนกราฟ โดยให้แกนนอนเป็น \$ k \$ และแกนตั้งเป็น \$ \kappa \$ ดังแสดงในภาพที่ 5 เส้นโค้งอันแรกคือวงกลม \$ k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2} \$ แทนด้วยสีแดง ที่มีรัศมีเท่ากับ \$ \frac{\sqrt{2 m V_0}}{\hbar} \$ เส้นโค้งที่สองคือ ฟังก์ชัน \$ \kappa = -\frac{k}{tan(k L)} \$ แทนด้วยสีน้ำเงิน จุดที่กราฟทั้งสองตัดกัน คือจุด \$ k,\kappa \$ ที่ทำให้สมการทั้งสอง เป็นจริง
ภาพที่ 5 การวาดกราฟเพื่อคำนวณค่า k (ปริมาณฟิสิกส์บนกราฟใช้ระบบหน่วยวัด Atomic Unit)
จากภาพจะเห็นว่า มีจุดตัดเกิดขึ้นเพียง 3 จุด แสดงว่าสถานะของอนุภาคที่เป็น Bound State มีเพียง 3 สถานะ โดยแต่ละสถานะ สามารถคำนวณพลังงานได้ โดยอาศัยค่า \$ k \$ ที่อ่านจากกราฟ แล้วนำมาแทนในสูตร \$ E = \frac{\hbar^2 k^2}{2 m} \$
ตัวอย่างโจทย์
วิศวกรออกแบบระบบควอนตัมด้วยโมเดล Semi-Finite Square Well ต้องการสถานะพื้น \$ E_1 \$ ที่มีพลังงานเป็นกึ่งหนึ่ง ของขอบบ่อศักย์ซึ่งสูงเป็น \$ V_0 = 2 \text{eV}\$ เขาจะต้องตัดชิ้นงานหนา กี่นาโนเมตร? (กำหนดให้อนุภาคมีมวลเป็น 0.067 เท่าของอิเล็กตรอน)
วิธีทำแม้ว่าในกรณีทั่วไป จำต้องใช้การวาดกราฟในการหาพลังงาน แต่หากเป็นกรณีพิเศษ เราสามารถคำตอบในรูปแบบคณิตศาตร์ที่สมบูรณ์ได้ โจทย์บอกว่า ต้องการ \$ E = \frac{V_0}{2} \$ เราจะใช้ความสัมพันธ์อันนี้ แทนเข้าในสมการ (2.7) เพื่อหาค่า \$ k \$
จากนั้นคำนวณ \$ \kappa \$ ด้วยสมการ (2.13)
นี้เป็นว่า ในกรณีพิเศษที่โจทย์ต้องการนี้ มีเงื่อนไข \$ k = \kappa \$ ซึ่งเมื่อแทนเข้าในสมการ (2.15) จะเชื่อมโยงไปถึง ความหนา \$ L \$ ของบ่อศักย์
ในเนื้อหาของตรีโกณมิติ \$ tan(135^\circ) = -1\$ ดังนั้น \$ k L = 135^\circ = \frac{3 \pi} {4} \$ และเมื่อใช้หน่วยเรเดียน จะได้ว่า \$ L = \frac{3 \pi} {4 k}\$ ผนวกกับ \$ k^2 = \frac{m V_0}{\hbar^2} \$ ข้างต้น ทำให้ได้ข้อสรุปก็คือ
เราสามารถตรวจสอบการคำนวณข้างต้น ด้วยการวาดกราฟ ดังแสดงในภาพ ซึ่งจะพบว่า จุดตัดเกิดขึ้นเพียง 1 ครั้ง แสดงว่ามีสถานะ Bound State เพียงอันเดียว ทั้งยังตัดกัน ณ ตำแหน่ง \$ k=\kappa \$ สอดคล้องกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ข้างต้น
เมื่อแทนค่ามวลและความสูงของบ่อศักย์ จะได้ L = 1.78 นาโนเมตร ตอบ
หมายเหตุ มวลที่ใช้ในโจทย์ข้อนี้คือมวลยังผลของอิเล็กตรอนในสาร GaAs (แกลเลียมอาซาไนต์) หนึ่งในส่วนประกอบยอดนิยมของโซล่าเซลล์ประสิทธิภาพสูง(สูงกว่าที่ทำด้วยซิลิกอน) และพลังงาน 2eV คือพลังงานของแสงสีเหลือง-แดง ความยาวคลื่น 612 นาโนเมตร (นอกจาก GaAs จะมีประสิทธิภาพสูงแล้วยังมีพิษต่อสิ่งแวดล้อม ในขณะที่ซิลิกอนคือสารที่อยู่ในเม็ดทรายธรรมดานี่เอง)
การบ้าน
จากสมการทั้ง 6 ของโมเดล Finite Square Well ในตัวอย่างโจทย์ จงเขียนสมการเพื่อใช้ในการแก้หา \$ k, \kappa \$ อันจะนำไปสู่การคำนวณพลังงานของระบบ
เฉลย \$ k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2} \$ และ \$ (k^2-\kappa^2)sin(k L ) - 2 k \kappa cos(k L) = 0\$
การบ้าน Hardcore
ปรับตำแหน่งของบ่อศักย์ Finite Square Well เดิมในภาพ 1a) ให้กลายเป็นสมมาตรซ้ายขวา กล่าวคือ บ่ออยู่ระหว่าง \$ -\frac{L}{2} \lt x \lt +\frac{L}{2}\$ จากนั้น ก) สร้างสมการที่เกี่ยวข้องกับ \$ k, \kappa \$ และ ข) วาดกราฟแสดงให้เห็นว่า ผลเฉลยของ \$ k, \kappa \$ (จุดตัดของกราฟ) มีค่าเท่ากัน กับการวางบ่อศักย์ในกรณีที่ผ่านมา
เฉลย ก) \$ k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2} \$ และ \$ \kappa = k tan(\frac{k L}{2})\$ สำหรับผลเฉลยแบบฟังก์ชันคู่ หรือ \$ \kappa = - k cot(\frac{k L}{2})\$ สำหรับผลเฉลยแบบฟังก์ชันคี่
บอกใบ้ ข) ปรับรูป \$ (k^2-\kappa^2)sin(k L ) - 2 k \kappa cos(k L) = 0\$ ให้เป็นสมการกำลังสอง \$ a \kappa^2 + b \kappa + c = 0\$ จากนั้นถอดรากออกเป็น \$ \kappa = \frac{-k cos(k L) \pm k}{sin(k L)} \$ แล้วใช้เอกลักษณ์ \$ sin(x) = 2 sin(\frac{x}{2}) cos(\frac{x}{2})\$ และ \$ cos(x) = cos^2(\frac{x}{2}) - sin^2(\frac{x}{2})\$ ตลอดจน \$ 1 = cos^2(\frac{x}{2}) + sin^2(\frac{x}{2})\$ ให้เป็นประโยชน์
ตัวอย่างโจทย์
วิศวกรออกแบบระบบควอนตัมด้วยโมเดล Finite Square Well ต้องการสถานะพื้น \$ E_1 \$ ที่มีพลังงานเป็น กึ่งหนึ่ง ของขอบบ่อศักย์ซึ่งมีความสูง \$ V_0 \$ เขาจะต้องตัดชิ้นงานให้มีความหนา \$ L \$ เป็นเท่าใด?
วิธีทำในทำนองเดียวกับตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา เงื่อนไข \$ E = \frac{V_0}{2} \$ ส่งผลให้ \$ k = \kappa \$ ซึ่งเมื่อพิจารณาความสัมพันธ์ \$ (k^2-\kappa^2)sin(k L ) - 2 k \kappa cos(k L) = 0\$ ของ Finite Square Well แล้วพบว่า
กล่าวคือ \$ k L \$ เท่ากับมุม 90 องศา หรือ \$ k L = \frac{\pi}{2} \$ ดังนั้นจะได้ว่า
\$ L = \frac{\pi \hbar} {2 \sqrt{m V_0}} \qquad \$ ตอบ
คำนวณฟังก์ชันคลื่น
หลังจากที่ได้คำนวณค่า \$ k \$ ในหัวข้อที่ผ่านมา ด้วยการวาดกราฟก็ดี หรืออาศัยกรณีพิเศษดังในตัวอย่างโจทย์ก็ดี ก็จะได้ \$ \kappa \$ โดยปริยาย เพราะจากสมการ (2.15) \$ \kappa = -\frac{k}{tan(k L)}\$ และในขั้นสุดท้าย เราจะคำนวณตัวแปร \$ A, B\$ เพื่อจะได้รูปแบบของฟังก์ชันคลื่น ที่สมบูรณ์
จากสมการ (2.11) เราเขียน \$ B = A e^{\kappa L} sin(k L) \$ เพราะฉะนั้น ฟังก์ชันคลื่นในพื้นที่ (II) อยู่ในรูป
โดยเราสามารถคำนวณค่า \$ A \$ ได้จากเงื่อนไข Normalization ในสมการ (2.14) กล่าวคือ
อาศัยผลการอินทิเกรต \$ \int_0^L sin^2(k x) dx = \frac{L}{2} - \frac{sin(2 k L)}{4 k}\$ และ \$ \int_L^\infty e^{-2 \kappa x} dx = \frac{e^{-2 \kappa L}}{2 \kappa}\$ เราคำนวณค่า \$ A \$ ได้ว่า
จัดรูปให้แลดูสวยงาม ด้วยความสัมพันธ์ในสมการ (2.15) \$ k = - \kappa tan(k L) \$ ทำให้ \$ - \frac{sin(2 k L)}{4 k} = \frac{2 sin(k L) cos( k L)}{4 \kappa tan(k L)} = \frac{cos^2(k L)}{2 \kappa}\$ ดังนั้น \$ A \$ ข้างต้น ลดรูปเหลือเพียง
หากใช้ข้อมูลของมวลและบ่อศักย์ดังในภาพที่ 5 จะสามารถวาดฟังก์ชันคลื่นดังแสดงในภาพที่ 6
ตรวจสอบด้วยสายตา พบว่าลักษณะของฟังก์ชันมีการต่อเนื่อง ดังที่กำหนดไว้ในขั้นตอนทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไป การวิเคราะห์หาฟังก์ชันคลื่นมักมิได้ใช่บ่อยครั้งนักในกลศาสตร์ควอนตัม ดังนั้น นักศึกษามีโอกาสน้อยที่จะต้องพบกับความโหดร้ายของคณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์ของหัวข้อนี้
การบ้าน
ในกรณีพิเศษที่กำหนดให้ พลังงานของอนุภาค มีค่าเป็นกึ่งหนึ่ง ของขอบบ่อในตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา จงคำนวณว่าอนุภาคมีโอกาสกี่ % ที่จะอยู่ภายนอกบ่อศักย์ (Semi-Finite Square Well)
เฉลย ความน่าจะเป็น \$ \frac{2}{3\pi+4}\$ คิดเป็น 14.9%
สรุป
ในเบื้องต้นนี้ เราได้ศึกษาวิธีคำนวณฟังก์ชันคลื่น และที่สำคัญ พลังงานของระบบ Semi-Finite Square ด้วยการแบ่งบ่อศักย์ออกเป็นส่วนๆ หาคำตอบทีละส่วน แล้วนำมา "เย็บต่อกัน" โดยอาศัยเงื่อนไขความต่อเนื่อง ซึ่งก็คือ ฟังก์ชันจะต้องมีค่าเท่ากัน และมีความชันเท่ากัน ณ บริเวณรอยต่อ
การสร้างผลเฉลย จะทำให้เกิดตัวแปรที่ไม่ทราบค่า ซึ่งเราจะต้องหา ด้วยการสร้างสมการขึ้นมาชุดหนึ่ง อันประกอบด้วย 1) สมการ ณ รอยต่อ 2) สมการที่เกิดจากการโยงเข้าหาพลังงาน และ 3) สมการของ Normalization และถึงแม้จะเป็นเพียงโจทย์ที่ถูกลดรูปให้ง่ายขึ้น แต่โดยไม่รู้ตัว เราได้สร้างสมการของ Finite Square Well ขึ้นมาอย่างง่ายดาย โดยอาศัยความเข้าใจของโจทย์อย่างง่ายอันนี้ เป็นพื้นฐาน
ในลำดับต่อไป จะมีอีกหลายประเด็นที่เราต้องขยายความให้ชัดเจน
- กรณีที่ \$ E > V_0 \$ จนทำให้อนุภาคหนีออกไปไกลจากบ่อ มีลักษณะอย่างไร?
- เงื่อนไขที่ว่า ฟังก์ชันคลื่น มีความต่อเนื่อง มีข้อยกเว้นหรือเปล่า?
- การประยุกต์ใช้งานของ Quantum Well ดังที่เกริ่นไว้ตอนต้น ว่าใช้สร้างเลเซอร์ โซล่าเซลล์ หรือ Thermoelectric มีรายละเอียดอย่างไร?
- โจทย์วิจัยต่างๆที่เกี่ยวข้อง ที่สามารถให้นักศึกษา ค้นคว้าเพิ่มเติมหรือต่อยอดไปเป็นโปรเจคขนาดย่อม มีแนวทางใดบ้าง?
ด้วยรักและผูกพัน, ทีปานิส ชาชิโย
Keyword: กลศาสตร์ควอนตัม, สมการชโรดิงเจอร์
อ้างอิง
- [1] หนังสือ "กลศาสตร์ควอนตัมระดับอุดมศึกษา" https://sites.google.com/site/siamphysics/intro-quantum/online-textbook
- [2] Samsumg QLED Display
- [3] Siam Quantum โปรแกรมจำลองโมเลกุลในสาขาเคมีควอนตัม https://sites.google.com/site/siamquantum/
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น