บ่อศักย์ควอนตัม Finite Square Well

โดย ทีปานิส ชาชิโย ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยนเรศวร

ฟิสิกส์มัธยมปลายมีมนต์เสน่ห์ของการประยุกต์กับสิ่งที่เรามองเห็น คานงัด คานดีด คือม้ากระดกในสนามเด็กเล่น ลูกรอกใช้ดึงวัสดุก่อสร้างขึ้นตึกสูง หรือแรงเสียดทาน ใช้ออกแบบถนนให้มุมเอียงสามารถเข้าโค้งได้อย่างปลอดภัย กลศาสตร์ควอนตัม มีมนต์เสน่ห์ของการประยุกต์กับ สิ่งที่เรา มอง ไม่ เห็น (ด้วยข้อจำกัดของสายตามนุษย์ ที่ไม่ละเอียดเพียงพอ) เช่น อะตอม ที่ต่อกันเป็นโมเลกุล หรือเรียงตัวเป็นระเบียบภายในผลึก หรือ เจาะ ลึก เล็กลงไป ในนิวเคลียส เหล่านี้คืออาณาเขตที่ทฤษฎีควอนตัม แสดงศักยภาพของการทำนาย ได้อย่างเต็มที่

ศึกษาอะตอมไฮโดรเจน

ไฮโดรเจนประกอบด้วย 1 อิเล็กตรอน เคลื่อนที่อยู่ภายใต้อิทธิพลของแรงดึงดูดทางไฟฟ้าจากนิวเคลียส หากจะศึกษาให้สมจริงใน 3 มิติ เราต้องเขียนสมการ Schrödinger ของอิเล็กตรอน ให้อยู่ในรูปของ

$-\frac{\hbar^2}{2 m}(\frac{d^2 \psi}{d x^2} + \frac{d^2 \psi}{d y^2} + \frac{d^2 \psi}{d z^2} ) + V(r)\psi = E \psi ; \qquad V(r) = - \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r}$

สังเกตว่าพลังงานจลน์ใน 3 มิติ ประกอบด้วยอนุพันธ์อันดับสอง ของทั้ง 3 แกน และพลังงานศักย์ คืออันตรกิริยาแบบคูลอมบ์ แต่เนื่องจากเป็นระบบใน 3 มิติ ผลเฉลย มีความซับซ้อนเกินกว่าเนื้อหาในปัจจุบัน ดังนั้น ในเบื้องต้นเราจะใช้โมเดลอย่างง่าย ในการศึกษาอะตอมไฮโดรเจน เพราะอิเล็กตรอนถูกขังอยู่ในอะตอม ในทำนองเดียวกับที่ อนุภาคมวล $m$ ถูกขังอยู่ในบ่อศักย์ ดังแสดงในภาพที่ 1a

ภาพที่ 1 โมเดลอย่างง่ายของอะตอมไฮโดรเจน

แม้จะเป็นโมเดลอย่างง่าย แต่ก็คำนวณพลังงาน $E$ ของไฮโดรเจน ได้ดีพอสมควร ในภาพ แสดงความหนาของบ่อศักย์ เท่ากับ 1 อังสตรอม เพราะนี่คือขนาดเส้นผ่าศูนย์กลาง(โดยประมาณ)ของไฮโดรเจน ในขณะที่ความสูงของขอบบ่อ ได้จากการแทน รัศมี $r = 0.5$ อังสตรอม เข้าไปในเทอมของพลังงานศักย์คูลอมบ์ $\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0} \frac{1}{r}$ ดังแสดงในภาพ 1b ทำให้ได้โมเดล Finite Square Well ที่มีความสูง $V_0 = \frac{( 1.602 \times 10^{-19} )^2 }{4 \pi (8.854 \times 10^{-12} ) (0.5 \times 10^{-10}) } = 4.614 \times 10^{-18} \text{ J}$ หรือ $28.8 \text{ eV}$

ในหัวข้อนี้ เราจะแก้สมการ Schrödinger เพื่อหาระดับพลังงาาน $E$ และ ฟังก์ชันคลื่น $\psi(x)$ ของ Finite Square Well ดังในภาพ 1a

ระดับพลังงาน

ในตัวอย่างโจทย์ของหัวข้อที่ผ่านมา [อ้างอิง 1] เราได้ตั้งสมการของบ่อศักย์แบบ Finite Square Well ไว้ อย่าง ครบ ถ้วน ดังนี้

$\psi_{I}(x) = B_1 e^{+\kappa x} \qquad \qquad \qquad \quad$	(1)
$\psi_{II}(x) = A_1 sin(k x ) + A_2 cos(k x)$	(2)
$\psi_{III}(x) = B_2 e^{-\kappa x} \qquad \qquad \qquad \quad$	(3)

โดยตัวแปร $B_1, A_1, A_2, B_2, k, \kappa$ ที่มาจาก 3 บริเวณ (I), (II), และ (III) คำนวณได้จาก 6 สมการ

$B_1 = A_2$	(4)
$\kappa B_1 = k A_1$	(5)
$A_1 sin(k L) + A_2 cos(k L) = B_2 e^{-\kappa L}$	(6)
$k A_1 cos(k L) - k A_2 sin(k L) = -\kappa B_2 e^{-\kappa L}$	(7)
$k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$	(8)
$\int_{-\infty}^0 \psi^2_{I}(x) dx + \int_0^L \psi^2_{II}(x) dx + \int_L^\infty \psi^2_{III}(x) dx = 1$	(9)

ซึ่งเมื่อคำนวณค่า $k, \kappa$ ได้แล้ว ก็สามารถโยงเข้าหาพลังงานได้ว่า

$k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2} \qquad$	(10)
$\kappa^2 = \frac{2 m (V_0 - E)}{\hbar^2}$	(11)

เพื่อคำนวณค่า $k, \kappa$ พิจารณาสมการ (8) ซึ่งมีอยู่เพียงสองตัวแปร ขั้นต่อไป เราจะต้องสร้างอีกสมการหนึ่ง ซึ่งมีเพียง $k, \kappa$ ปรากฎอยู่

นำความสัมพันธ์ $A_2 = B_1$ จากสมการ (4) และ $A_1 = \frac{\kappa}{k} B_1$ จากสมการ (5) แทนเข้าในสมการ (6) และ (7) ตามลำดับ

$\displaylines{ B_1 \left[ \frac{\kappa}{k} sin(k L) + cos(k L) \right]= B_2 e^{-\kappa L} \cr B_1 \left[ \kappa cos(k L) - k sin(k L) \right] = -\kappa B_2 e^{-\kappa L} }$

ข้างต้น เราแยกตัวประกอบเอา $B_1$ มาไว้ส่วนหน้า เพื่อรอการกำจัด ด้วยการเอาสมการแรก หาร สมการที่สอง

$\frac{\frac{\kappa}{k} sin(k L) + cos(k L)}{\kappa cos(k L) - k sin(k L)} = - \frac{1}{\kappa}$

จากนั้น คูณไขว้ แล้วจัดรูป จะได้ความสัมพันธ์ดังในเฉลยการบ้านของหัวข้อที่ผ่านมา ก็คือ

$(k^2-\kappa^2)sin(k L ) - 2 k \kappa cos(k L) = 0$

(12)

ข้างต้น เป็นอีกสมการหนึ่ง ที่มีเฉพาะ $k, \kappa$ ดังที่เราต้องการ ซึ่งเมื่อผนวกกับกราฟของวงกลม $k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$ จะสามารถวาดกราฟ เพื่อหาจุดตัด ดังที่กล่าวไว้ ในหัวข้อที่ผ่านมา

แต่ความสัมพันธ์ $(k^2-\kappa^2)sin(k L ) - 2 k \kappa cos(k L) = 0$ ยังไม่เหมาะสมที่จะวาดกราฟ (ที่แกนตั้งเป็น $\kappa$ แกนนอนเป็น $k$) ได้ทันที เราต้องปรับ ให้อยู่ในรูปของฟังก์ชัน $\kappa(k)$ เสียก่อน

เริ่มด้วยการนำสมการ (12) มาเขียนเป็นสมการกำลังสอง $a \kappa^2 + b \kappa + c = 0$ กล่าวคือ

$sin(k L) \kappa^2 + 2 k cos(k L) \kappa - k^2 sin(k L) = 0$

จากนั้น ถอดราก $\kappa = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c} }{2 a}$ ได้ 2 ผลเฉลย

$\kappa = \frac{-k cos(k L) + k}{sin(k L)} = \quad k tan(\frac{k L}{2})$	(13)
$\kappa = \frac{-k cos(k L) - k}{sin(k L)} = - k cot(\frac{k L}{2})$	(14)

ด้านขวามือสุด ของ 2 สมการข้างต้น ได้จากการนำเอกลักษณ์ $sin(x) = 2 sin(\frac{x}{2}) cos(\frac{x}{2})$ และ $cos(x) = cos^2(\frac{x}{2}) - sin^2(\frac{x}{2})$ ตลอดจน $1 = cos^2(\frac{x}{2}) + sin^2(\frac{x}{2})$ มาปรับใช้ให้เป็นประโยชน์

และเมื่อนำวงกลม ดังสมการ (8) มาวาดกับกราฟของสมการ (13) และ (14) จะได้จุดตัดดังแสดงในภาพที่ 2a ซึ่งเป็นกรณีทั่วไป หรือภาพที่ 2b ซึ่งเป็นกรณีของไฮโดรเจน

ภาพที่ 2 a) การคำนวณค่า $k, \kappa$ ในกรณีทั่วไป และ b) กรณีโมเดลอย่างง่าย ของไฮโดรเจน $L = 1$ อังสตรอม และ $V_0 = 28.8 \text{ eV}$

ในกรณีทั่วไป กราฟสีน้ำเงินของสมการ (13) จะตัดกับวงกลมสีแดงเป็นอันดับแรก ถัดมาทางขวา จะเป็นเส้นประสีเขียวของสมการ (14) และจะสลับกันอยู่เช่นนี้ เรื่อยไป

ภาพที่ 2b เป็นกรณีของโมเดลอย่างง่ายที่เราใช้ศึกษาไฮโดรเจน แสดงให้เห็นจุดตัด เพียงจุดเดียว ซึ่งมีพลังงาน $E = 11.7 \text{ eV}$ แต่ก่อนที่เราจะเปรียบเทียบกับระดับพลังงานของไฮโดรเจน จะต้องรอบคอบ อีกขั้นหนึ่ง

ภาพที่ 3 ระดับพลังงานของ Finite Square Well เทียบกับ ระดับพลังงานของไฮโดรเจน

ในภาพข้างต้น พลังงานที่ถูกต้อง ของไฮโดรเจน $E_\text{H} = -13.6 \text{ eV}$ เป็นการรายงานผลที่ใช้ขอบบ่อ เป็นฐานในการนับศูนย์ กล่าวคือ รายงานว่า พลังงานอยู่ต่ำลงมา(ติดลบ)จากขอบบ่อ เท่ากับ $13.6 \text{ eV}$ ซึ่งแตกต่างจากวิธีการนับพลังงานของโมเดล Finite Square Well ที่เราใช้อยู่นี้ ดังนั้น เพื่อเทียบเคียงกับไฮโดรเจน เราจะต้องนำพลังงาน $E = 11.7 \text{ eV}$ มา ลบ ออก จาก ขอบบ่อศักย์ $V_0 = 28.8 \text{ eV}$ เพื่อหาว่าระดับพลังงาน อยู่ต่ำลงมา จากขอบบ่อเท่าใด

พลังงานของไฮโดรเจน (ด้วยโมเดล Finite Square Well) $E_H^{\text{(Model)}} = -(28.8 - 11.7) = - 17.1 \text{ eV}$

ซึ่งคลาดเคลื่อนอยู่ที่ประมาณ 25% ถือว่าไม่เลวนัก สำหรับโมเดลที่มีข้อจำกัด ที่รวบรัดตัดตอนอยู่บ้าง อาทิเช่น

• สมมุติให้เป็น 1 มิติ ทั้งที่ไฮโดรเจนมี 3 มิติ
• ใช้โมเดลแบบบ่อศักย์สี่เหลี่ยม ทั้งที่ไฮโดรเจนเป็นรูป โค้ง แบบคูลอมบ์
• บ่อศักย์ลึกจำกัดค่าหนึ่ง แต่ไฮโดรเจนลึกอนันต์ ณ ใจกลางของนิวเคลียส

ระบบหน่วยวัด Atomic Unit

หากนักศึกษาวาดกราฟ เพื่อตรวจสอบผลลัพธ์ในภาพที่ 2b หรือเพื่อทำการบ้าน ก็ดี จะมีความยุ่งยากพอสมควรหากใช้ระบบ SI เนื่องจาก พลังงานอยู่ในหน่วย จูล หรือ ระยะทางเป็นเมตร ซึ่งล้วนมีค่าสูงมาก เมื่อเทียบกับพลังงานหรือระยะทางในระดับอะตอม นอกจากนี้ ตัวเลขในระบบ SI ยังมี เศษ ทศนิยม เป็นอุปสรรคในการคำนวณ เช่น มวลอิเล็กตรอน $m_e = 9.109 \times 10^{-31}$ กิโลกรัม หรือ ขนาดประจุของมัน $e = 1.602 \times 10^{-19}$ คูลอมบ์ เป็นต้น

จินตการหน่วยวัดที่ออกแบบไว้อย่างลงตัว กับการแก้สมการ Schrödinger เหมาะกับอะตอม หรือโมเลกุล ระบบซึ่งมีค่าคงที่พื้นฐานต่อไปนี้ เท่ากับ 1 !!! พอดี

$\hbar = 1, \enspace m_e = 1, \enspace e = 1, \enspace \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} = 1$ ในระบบ Atomic Unit

ข้างต้น คือเอกลักษณ์ของระบบ Atomic Unit ซึ่งมีหน่วยในการวัดระยะทาง พลังงาน หรือเวลา แตกต่างจากระบบ SI ดังข้อมูล ต่อไปนี้

ระยะทาง	ใช้หน่วย Bohr	$\enspace 1 \text{ Bohr} = 5.291772 \times 10^{-11} \text{ m} = 0.529 \text{ angstrom}$
พลังงาน	ใช้หน่วย Hartree	$\enspace 1 \text{ Hartree} = 4.359745 \times 10^{-18} \text{ J} = 27.211 \text{ eV}$
เวลา	ไม่มีชื่อเฉพาะ	$\enspace 1 \text{ Unit of Time} = 2.418884 \times 10^{-17}\text{ s}$

---

การบ้าน

จงเขียนสมการ Schrödinger ของไฮโดรเจนใน 3 มิติ ด้วยระบบ Atomic Unit

เฉลย$-\frac{1}{2}(\frac{d^2 \psi}{d x^2} + \frac{d^2 \psi}{d y^2} + \frac{d^2 \psi}{d z^2} ) - \frac{1}{r}\psi = E \psi$

---

---

การบ้าน

จงเปลี่ยนความหนา $L = 1 \text{ angstrom}$ และ ความสูง $V_0 = 28.8 \text{ eV}$ ให้อยู่ใน Atomic Unit

เฉลย $L = 1.89 \text{ Bohr}$ และ $V_0 = 1.058 \text{ Hartree}$

---

ทั้งนี้ ไม่ว่านักศึกษาจะเลือกใช้ระบบ SI หรือ Atomic Unit ก็ตาม เพื่อความไม่ประมาท ควรให้ตัวแปรที่เกี่ยวข้องทุกตัวในสูตรนั้นๆ หรือในกราฟนั้นๆ   เป็นระบบเดียวกัน

ภาพที่ 4 การคำนวณพลังงาน ด้วยโปรแกรม Excel

ภาพที่ 4 แสดงการวาดกราฟด้วยโปรแกรม Excel ด้วยระบบ Atomic Unit โดยใช้ $L = 1.89 \text{ Bohr}$ และ $V_0 = 1.058 \text{ Hartree}$ ซึ่งจะได้ค่า $k = 0.929 \text{ Bohr}^{-1}$ และคำนวณพลังงานได้ว่า (สังเกตความสะดวกในการใช้ $\hbar = 1$ และ $m = 1$)

$E = \frac{\hbar^2 k^2} {2 m} = \frac{1^2 \times 0.929^2}{2 \times 1} = 0.432 \text{ Hartree}$

จากนั้นเราค่อยเปลี่ยนหน่วยของพลังงานที่คำนวณได้ ให้กลายเป็น $\text{eV}$ หรือ $\text{Joule}$ หรือ $\text{Calorie}$ เพื่อการรายงานผล เพื่อวาดภาพ วาดกราฟประกอบการนำเสนอผลงาน ตามแต่รสนิยมและวัฒนธรรมการเลือกใช้หน่วยวัด ของแต่ละสาขาวิชา

ฟังก์ชันคลื่น

จากการวาดกราฟในหัวข้อที่ผ่านมา เมื่อทราบค่า $k$ เป็นที่เรียบร้อย เราสามารถคำนวณ $\kappa = \sqrt{ \frac{2 m V_0}{\hbar^2} - k^2}$ และตัวแปรที่เหลือ $B_1, A_1, A_2, B_2$ ได้ทั้งหมด ทำให้ได้ฟังก์ชันคลื่น $\psi(x)$ ที่สมบูรณ์ เพื่อวิเคราะห์ต่อยอดไปถึง $|\psi(x)|^2$ ซึ่งแสดงลักษณะการกระจายตัวของกลุ่มหมอกอิเล็กตรอน ภายในบ่อศักย์

กล่าวอีกนัยหนึ่ง $B_1, A_1, A_2, B_2$ ล้วนเป็นฟังก์ชันของ $k, \kappa$ ส่วนจะมีรูปแบบทางคณิตศาสตร์เช่นใดนั้น รายละเอียดอยู่ในการบ้านต่อไปนี้

---

การบ้าน Hardcore

จงใช้สมการ (4)-(9) เพื่อเขียน $B_1, A_1, A_2, B_2$ ให้เป็นฟังก์ชันของ $k, \kappa$

บอกใบ้ เขียนตัวแปร $A_1, A_2, B_2$ ให้อยู่ในรูป $B_1$ จากนั้นใช้หลักการ Normalization จากสมการ (9) เพื่อคำนวณ $B_1$ นอกจากนี้ ใช้สมการ (12) จัดรูป $B_1$ ให้แลดูสวยงาม

เฉลย$\quad \begin{split} B_1(k,\kappa) &= \sqrt{ \frac{2 k^2 \kappa }{(k^2 + \kappa^2)(\kappa L + 2)}} \cr A_1 &= \frac{\kappa}{k} B_1 \cr A_2 &= B_1 \cr B_2 &= \left[ \kappa sin(k L)+ k cos(k L) \right] \frac{e^{\kappa L}}{k} B_1\cr \end{split}$

---

ภาพที่ 5 แสดงลักษณะทั่วไปของฟังก์ชันคลื่น ซึ่งสืบเนื่องมาจากภาพ 2a ที่เราได้คำนวณค่า $k, \kappa$ ไว้ก่อนหน้านี้ และนำมาคำนวณ $B_1(k,\kappa), \enspace A_1(k,\kappa), \enspace A_2(k,\kappa), \enspace B_2(k,\kappa)$ เพื่อสร้างเป็นฟังก์ชันคลื่น ของแต่ละพื้นที่ (I), (II), (III) จากนั้นนำมาวาดบนกราฟ

ภาพที่ 5 ลักษณะทั่วไปของฟังก์ชันคลื่น

ตรวจสอบด้วยสายตา สังเกตว่าฟังก์ชันคลื่น แบ่ง ออก เป็น 2 ประเภท คือ 1) มีความสมมาตรรอบกึ่งกลางบ่อ ในลักษณะของฟังก์ชันคู่ (แสดงด้วยสีน้ำเงิน) และประเภทที่ 2) มีความปฏิสมมาตร หรือที่เรียกว่า ฟังก์ชันคี่ (แสดงด้วยสีเขียว) และเพื่อชี้ให้เห็น ในประเด็นความสมมาตรอันนี้ เราจะทำตัวอย่างโจทย์อีกข้อหนึ่ง ที่วางตำแหน่งของบ่อศักย์ให้สมมาตรรอบจุดกำเนิด กล่าวคือ บ่อศักย์อยู่ในบริเวณ $-\frac{L}{2} \lt x \lt +\frac{L}{2}$ แล้วจะนำผลลัพธ์ที่ได้ มาวิเคราะห์ในประเด็นนี้อีกครั้ง ภายหลังจากตัวอย่างโจทย์ ต่อไปนี้

---

ตัวอย่างโจทย์

จงหาฟังก์ชันคลื่น และระดับพลังงานของ Finite Square Well ดังแสดงในภาพ

วิธีทำ

เราแบ่งพื้นที่ออกเป็น 3 บริเวณเช่นเคย แต่เนื่องจากความสมมาตรของบ่อศักย์ ที่เป็นตัวกำหนดธรรมชาติการเคลื่อนที่ของอนุภาค เราใช้ตรรกะว่า

กลุ่มหมอกอิเล็กตรอน หรือ $|\psi(x)|^2$ จะต้องกระจายตัวอย่างสมมาตร ซ้าย-ขวา

สังเกตเครื่องหมาย ยกกำลังสอง ที่แสดงถึงความน่าจะเป็นที่จะพบอนุภาค จากนั้นวิเคราะห์ต่อไปอีกว่า การที่ ฝั่งซ้าย-ฝั่งขวา ของฟังก์ชัน $\psi(x)$ จะ ยก กำ ลัง สอง แล้วมีค่าเท่ากัน หรือ สมมาตร กันนั้น ย่อมเกิดขึ้นได้สองลักษณะ คือ

ฝั่งขวา = +ฝั่งซ้าย หรือเรียกว่า ฟังก์ชันคู่
ฝั่งขวา = -ฝั่งซ้าย หรือเรียกว่า ฟังก์ชันคี่

• ภาพ ก) แสดงดัวอย่างฟังก์ชันคู่ ที่ ทั้ง สอง ฝั่ง มีค่าเท่ากัน อาทิเช่น ฟังก์ชัน พาราโบล่า $f(x) = x^2$ หรือ $cos(x)$
• ภาพ ข) แสดงตัวอย่างฟังก์ชันคี่ ที่ทั้งสองฝั่ง มีเครื่องหมาย กลับกัน เช่น ฟังก์ชันแปรผันตรง $f(x) = 2x$ หรือ เส้นโค้งแปรผกผัน $\frac{1}{x}$ และที่สำคัญ $\quad sin(x)$

ด้วยเหตุนี้ เราจะสร้างผลเฉลย $\psi_{I}(x), \enspace \psi_{II}(x), \enspace \psi_{III}(x)$ แยกคนละประเภท

ประเภทฟังก์ชันคู่ หลังจากเขียนสมการ Schrödinger ในแต่ละบริเวณ เราสร้างผลเฉลยได้ว่า

Even solutions $\qquad \displaylines{ \psi_{I}(x) = B e^{+\kappa x} \quad \cr \psi_{II}(x) = A cos(k x) \cr \psi_{III}(x) = B e^{-\kappa x} \quad }$

(E.1)

บริเวณตรงกลาง เราเลือกเฉพาะ $cos(k x)$ เพราะมันเป็นฟังก์ชันคู่ ส่วนบริเวณขอบบ่อซ้ายขวา มีสัมประสิทธิ์ $B$ เหมือนกันทั้งคู่ เพราะเรากำหนดให้มันเป็นฟังก์ชันคู่ แปลว่า ทั้งซ้ายและขวา จะต้องมีขนาดสมมาตรกัน หรือ เท่ากัน

เมื่อนำ $\psi_{II}(x)$ และ $\psi_{III}(x)$ มา "เย็บต่อกัน" ณ รอยต่อ $x = +\frac{L}{2}$ จึงเกิดเป็น 2 สมการ

$\begin{split} A cos(\frac{k L}{2}) &= \quad B e^{-\frac{\kappa L}{2}} \cr - k A sin(\frac{k L}{2}) &= -\kappa B e^{-\frac{\kappa L}{2}} \end{split}$

จับทั้งสองสมการ หารกัน จะได้ว่า

Even solutions $\qquad \kappa = k tan(\frac{k L}{2})$

(E.2)

ซึ่งได้ผลลัพธ์อันเดียวกัน กับสมการ (13) นี้เป็นว่า มันจะต้องให้พลังงาน ค่าเดียวกัน นั่นเอง

นอกจากนี้ เรายังสามารถใช้หลักการ Normalization เพื่อคำนวณค่า $A, B$ ได้ว่า

Even solutions $\qquad A = \sqrt{\frac{2 \kappa}{\kappa L + 2}}; \quad B = A cos(\frac{k L}{2}) e^{\frac{\kappa L}{2}}$

(E.3)

ประเภทฟังก์ชันคี่ ผลเฉลยอยู่ในรูป

Odd solutions $\qquad \displaylines{ \psi_{I}(x) = B e^{+\kappa x} \quad \cr \psi_{II}(x) = A sin(k x) \cr \psi_{III}(x) = -B e^{-\kappa x} \quad }$

(E.4)

ให้เทียบสมการ (E.1) กับสมการ (E.4) ว่าคราวนี้ เราเลือกใช้ $sin(k x)$ แทน เพราะเรากำลังพิจารณาฟังก์ชันคี่ ในขณะที่ขอบซ้ายขวา สัมประสิทธิ์ $B$ มีเครื่องหมายสลับกัน ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ของฟังก์ชันคี่ และเมื่อพิจารณารอยต่อ $x = +\frac{L}{2}$ จะนำไปสู่สมการ

Odd solutions $\qquad \kappa = - k cot(\frac{k L}{2})$

(E.5)

เช่นเคย ได้ผลลัพธ์เดียวกันกับสมการ (14) นี้เป็นว่ามีระดับพลังงานเท่ากัน และสุดท้าย ใช้หลัก Normalization เพื่อหาค่า $A, B$

Odd solutions $\qquad A = \sqrt{\frac{2 \kappa}{\kappa L + 2}}; \quad B = -A sin(\frac{k L}{2}) e^{\frac{\kappa L}{2}}$

(E.6)

ฟังก์ชันคลื่น แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ ฟังก์ชันคู่ และ ฟังก์ชันคี่ ส่วนพลังงานที่ได้ มีค่าเท่าเดิม ตอบ

---

จากการวิเคราะห์ตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา ทำให้ทราบว่า แม้เราวางตำแหน่งของบ่อศักย์ให้สมมาตรรอบจุดกำเนิด $-\frac{L}{2} \lt x \lt +\frac{L}{2}$ ระดับพลังงานที่คำนวณได้ กลับมีค่าไม่ต่างจากกรณี $0 \lt x \lt L$ ดังในภาพ 1a

พฤติกรรมอันนี้ เกิดจากที่ทั้งสองกรณี ไม่ได้แตกต่างกันอย่างมีนัยะสำคัญ เป็นแต่เพียงทางเลือกของการวางระบบพิกัดที่แตกต่างกัน เท่านั้นเอง

แต่การใช้ตรรกะความสมมาตรเข้ามาช่วย ก็ทำให้กระบวนการทางคณิตศาสตร์ในตัวอย่างโจทย์ ลด ความ ซับ ซ้อน ลงไปมาก ทั้งยังสามารถจำแนกประเภทของฟังก์ชันคลื่นออกมาได้ชัดเจน โดยความสัมพันธ์ $\kappa = k tan(\frac{k L}{2})$ ดังสมการ (13) เป็นฟังก์ชันคู่ และ $\kappa = - k cot(\frac{k L}{2})$ ดังสมการ (14) เป็นฟังก์ชันคี่ ซึ่งหากรู้อย่างนี้ ชะรอยเราวางบ่อศักย์ให้สมมาตรตั้งแต่แรก คงจะเป็นการดี

---

การบ้าน Hardcore

ให้ $n_\text{even}$ และ $n_\text{odd}$ เป็นเลขจำนวนเต็ม ที่แสดงจำนวนสถานะ Bound State ของกรณีฟังก์ชันคู่ และ คี่ ตามลำดับ จงพิสูจน์ว่า

$\begin{split} n_\text{even} & \le \frac{L \sqrt{2 m V_0}}{2 \pi \hbar} + 1\cr n_\text{odd} & \le \frac{L \sqrt{2 m V_0}}{2 \pi \hbar} + \frac{1}{2} \end{split}$

หมายเหตุ วิศวกรสามารถใช้ความสัมพันธ์ข้างต้น ออกแบบจำนวนสถานะที่ต้องการ ด้วยการปรับ ความหนา หรือความสูงของบ่อศักย์ให้เหมาะสม ยกตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นกรณีอิเล็กตรอน $m = m_e$ และเลือก $L = 4 \text{ Bohr}, \enspace V_0 = 2 \text{ Hartree}$ มีผลให้ $\frac{L \sqrt{2 m V_0}}{2 \pi \hbar} = \frac{4 \sqrt{2 \times 1 \times 2}}{2 \pi \times 1} = 1.273$ หรือ

$n_\text{even} \le 2.273 \enspace$ แปลว่า $\enspace n_\text{even} = 2 \enspace$ (เพราะนิยามเป็นจำนวนเต็ม)
$n_\text{odd} \le 1.773 \enspace$ แปลว่า $\enspace n_\text{odd} = 1 \enspace$ (จำนวนเต็มที่ไม่เกิน 1.773)
จึงมีทั้งหมด 2+1 = 3 สถานะ ที่เป็น Bound State

บอกใบ้ พิจารณาภาพที่ 2a) จุดตัดระหว่างวงกลม $k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$ กับสมการ (13) หรือ (14) จะต้องเกิดขึ้น ทางขวา ของจุดที่ $\kappa$ เท่ากับศูนย์

---

---

ตัวอย่างโจทย์ Hardcore

พิจารณา Double Well Potential ดังแสดงในภาพ เมื่อ $R$ คือระยะห่าง ระหว่างจุดศูนย์กลางของ 2 บ่อ โดยแต่ละบ่อ มีความกว้าง $L$ จงหาความสัมพันธ์ ระหว่าง $k$ และ $\kappa$ (เพื่อใช้ในการคำนวณพลังงาน ในลำดับต่อไป)

วิธีทำ

ขั้นตอนการคำนวณโดยละเอียด อาจใช้กระดาษทดถึง 10 หน้า ดังนั้นเราจะอธิบายพอสังเขป

อาศัยความสมมาตรของบ่อศักย์ เราแบ่งการวิเคราะห์ออกเป็น ฟังก์ชันคู่ และ คี่

ประเภทฟังก์ชันคู่ เขียนฟังก์ชันคลื่นออกมาได้ว่า

$\begin{split} \psi_{III} & = F [ e^{+ \kappa x } + e^{- \kappa x } ] \cr \psi_{IV} & = A_1 sin(k x) + A_2 cos(k x ) \cr \psi_{V} & = B e^{- \kappa x } \end{split}$

ณ รอยต่อ $x = \frac{R}{2} - \frac{L}{2}$ สร้างได้ 2 สมการ

$\begin{split} F [ e^{+ \kappa \frac{R-L}{2} } + e^{- \kappa \frac{R-L}{2} } ] & = A_1 sin(k \frac{R-L}{2}) + A_2 cos(k \frac{R-L}{2}) \cr \kappa F [ e^{+ \kappa \frac{R-L}{2} } - e^{- \kappa \frac{R-L}{2} } ] & = k A_1 cos(k \frac{R-L}{2}) - k A_2 sin(k \frac{R-L}{2}) \end{split}$

นำสมการล่าง หารด้วย สมการบน เพื่อกำจัดตัวแปร $F$ แต่ก่อนอื่น เรานิยามตัวย่อ เพื่อประหยัดเวลาในการทด และ ลด ความผิดพลาดจากอาการตาลาย

นิยาม $t \equiv tanh(\kappa \frac{R-L}{2}); \quad S_{\pm} \equiv sin(k \frac{R \pm L}{2}); \quad C_{\pm} \equiv cos(k \frac{R \pm L}{2})$

นำสมการล่าง หารด้วย สมการบน จะได้ $\kappa t = \frac{k A_1 C_- - k A_2 S_-}{A_1 S_- + A_2 C_-}$ แล้วจัดรูป

$A_1[\kappa t S_- - k C_-] = - A_2 [ \kappa t C_- + k S_- ]$

(E.1)

ณ รอยต่อ $x = \frac{R}{2} + \frac{L}{2}$ สร้างได้อีก 2 สมการ

$\begin{split} B e^{- \kappa \frac{R+L}{2} } & = A_1 sin(k \frac{R+L}{2}) + A_2 cos(k \frac{R+L}{2}) \cr - \kappa B e^{- \kappa \frac{R+L}{2} } & = k A_1 cos(k \frac{R+L}{2}) - k A_2 sin(k \frac{R+L}{2}) \end{split}$

นำสมการล่าง หารด้วย สมการบน จะได้ $- \kappa = \frac{k A_1 C_+ - k A_2 S_+}{A_1 S_+ + A_2 C_+}$ คูณไขว้ แล้วแยก $A_1, A_2$ ออกมาไว้ เพื่อรอการกำจัด

$A_1[\kappa S_+ + k C_+] = - A_2 [ \kappa C_+ - k S_+ ]$

(E.2)

กำจัด $A_1, A_2$ ด้วยการหาร สมการ (E.1) ด้วย (E.2) เกิดเป็น $\frac{\kappa t S_- - k C_-}{\kappa S_+ + k C_+} = \frac{\kappa t C_- + k S_-}{\kappa C_+ - k S_+}$ คูณไขว้ แล้วจัดรูป

$(k^2 - \kappa^2 t)[S_+ C_- - S_- C_+] - k \kappa (t + 1)[ S_- S_+ + C_- C_+] = 0$

(E.3)

อาจต้องใช้ความอดทนเล็กน้อย แต่เราพิสูจน์ได้ว่า $[S_+ C_- - S_- C_+] = sin(k L)$ และ $[ S_- S_+ + C_- C_+] = cos(k L)$ ดังนั้น เราได้ความสัมพันธ์ของ $k, \kappa$ กรณีฟังก์ชันคู่ ก็คือ

Even solutions $\quad (k^2 - \kappa^2 t) sin(k L) - k \kappa (t + 1) cos(k L)= 0$

(E.4)

ประเภทฟังก์ชันคี่ เขียนฟังก์ชันคลื่นออกมาได้ว่า

$\begin{split} \psi_{III} & = F [ e^{+ \kappa x } - e^{- \kappa x } ] \cr \psi_{IV} & = A_1 sin(k x) + A_2 cos(k x ) \cr \psi_{V} & = B e^{- \kappa x } \end{split}$

ณ บริเวณตรงกลาง $\psi_{III}$ จะต้องเป็นฟังก์ชันคี่ จึงต้องอยู่ในรูป $( e^{+ \kappa x } - e^{- \kappa x } ) \sim sinh(\kappa x)$ ส่วนในบริเวณของ $\psi_{IV}$ หรือ $\psi_{V}$ ไม่สามารถใช้ความเป็นฟังก์ชันคี่ มาร่วมพิจารณา เพราะมันไม่ได้อยู่ตรงกลาง ไม่จำเป็นต้องมีลักษณะ "ปฏิสมมาตร" ซ้ายขวา แต่อย่างใด

และหากสร้างสมการ ณ รอยต่อทั้งสอง จากนั้น กำจัดตัวแปร $F, A_1, A_2, B$ ให้เหลือเพียง $k, \kappa \enspace$ ในกรณีฟังก์ชันคี่จะได้ว่า

Odd solutions $\quad (k^2 t - \kappa^2) sin(k L) - k \kappa (t + 1) cos(k L)= 0$

(E.5)

ได้ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันคู่และคี่ ดังสมการ (E.4) และ (E.5) ตามลำดับ ตอบ

---

แอบมองเนื้อหา Quantum Tunnelling

ฟังก์ชันคลื่นในหัวข้อที่ผ่านมา ซ่อนไว้ด้วยความลึกลับทางควอนตัม ที่ไม่เคยปรากฏมาก่อนในฟิสิกส์ยุคดั้งเดิม กล่าวคือ เมื่อสังเกตการเคลื่อนที่ของวัตถุขนาดใหญ่ หากมันมีพลังงาน $E$ ไม่เพียงพอที่จะเอาชนะบ่อศักย์ $V_0$ ที่ขังมันไว้ภายใน ก็จะไม่สามารถหลุดออกไปข้างนอกได้เลย ตัวอย่างมีให้เห็นอยู่ทั่วไป ดาวเคราะห์ของระบบสุริยะ ถูกขังอยู่ในบ่อศักย์เนื่องจากแรงโน้มถ่วงของดวงอาทิตย์ และจากหลักฐานทางธรณีวิทยากว่า 4.5 พันล้านปีที่โลกของเราถือกำเนิดขึ้น มันไม่เคยหลุดออกจากวงโคจรไปได้ ค่อยๆสาวไม้คิวแล้วแทงลูกสนุกเกอร์เบาๆ มันก็ไม่มีทางกระโดดข้ามขอบโต๊ะสักหลาดออกไปได้ เช่นกัน

เมื่อวัตถุขนาดเล็ก ถูกขังอยู่ภายในบ่อศักย์ มันกลับมีความน่าจะเป็นที่จะหลุดออกไปข้างนอก ดังแสดงในภาพที่ 5 พิจารณาฟังก์ชันคลื่นที่ได้จากสมการ Schrödinger จะเห็นว่า แม้เลยออกมานอกบ่อแล้ว ฟังก์ชันคลื่นก็ยังไม่เป็นศูนย์ แต่จะลดลงเรื่อยๆ แบบ Exponential Decay   และในเมื่อฟังก์ชันคลื่น $\psi\ne 0$ ก็ย่อมแสดงว่า ความน่าจะเป็น $\psi^2$ ไม่เท่ากับศูนย์ ด้วยเช่นกัน

ภาพที่ 6 แสดงพฤติกรรมที่อนุภาคสามารถทะลุทะลวงเข้าไปในอาณาเขต ของ ขอบบ่อ ทั้งๆที่มันมีพลังงานไม่เพียงพอ เริ่มจากภาพด้านซ้ายมือ คือกรณีของ Finite Square Well

ภาพที่ 6 แสดงฟังก์ชันคลื่นในบริเวณต่างๆของบ่อศักย์ (กำแพงศักย์ - เลือกวาดเฉพาะส่วนจำนวนจริง เพราะฟังก์ชันคลื่นในกรณีนี้เป็นจำนวนเชิงซ้อน)

ภายในบ่อ ฟังก์ชันคลื่นมีการสั่นขึ้นลง คล้ายคลื่น ที่มีแอมปลิจูดคงที่ค่าหนึ่ง นี้เกิดจากลักษณะทางคณิตศาสตร์ของ $\psi(x)$ ที่อยู่ในรูป $cos(k x)$ หรือ $sin(k x)$   เลื่อน มา ทางขวามือ ตามแนวแกน $x$ จะเข้าสู่บริเวณขอบบ่อ $x = 4$ ซึ่ง $E \lt V_0$   ในบริเวณนี้ $\psi(x) \ne 0$   และจะค่อยๆลดลงแบบ $e^{-\kappa x }$

จะเกิดอะไรขึ้น? ถ้าขอบบ่อ ขาดแหว่งออกไป

คำตอบดังแสดงในภาพที่ 6(ขวา) คือ กลาย เป็น "กำแพงศักย์"   ไม่ได้มีลักษณะของ   บ่อ อีกต่อไป ในกรณีนี้ ฟังก์ชันคลื่นวกกลับมาสั่นขึ้นลงอีกครั้ง ในทางคณิตศาสตร์ นี้เป็นผลจากการแก้สมการ Schrödinger ในบริเวณที่ $V = 0$ ดังที่เราได้วิเคราะห์แล้วในบทที่ 1 [อ้างอิง 2]

ปรากฎการณ์ในภาพที่ 6(ขวา) เรียกว่า Quantum Tunnelling หรือ การทะลุทะลวงเชิงควอนตัม ที่ลำอนุภาค เคลื่อนที่เป็นสาย   คล้ายลำน้ำที่ฉีดออกจากท่อ เข้าปะทะกำแพงศักย์ และแม้พลังงานจลน์ที่ถูกฉีดเข้ามาในตอนต้นจะสู้ความสูงของกำแพงศักย์ไม่ได้ อนุภาคก็ยังสามารถ เล็ดลอดทะลุกำแพงออกไป

การจะแก้สมการ Schrödinger ของกำแพงศักย์ จะต้องมีความเข้าใจเรื่อง เวลา ดีพอสมควร เพราะอนุภาคมีการเลื่อนตำแหน่งเมื่อเวลาผ่านไป และที่สำคัญ มีโมเมนตัมเป็นสมบัติเฉพาะตัว เราจะต้องทราบวิธีการสร้างฟังก์ชันคลื่น(จำนวนเชิงซ้อน!)ที่สะท้อนพฤติกรรมดังกล่าวของอนุภาค ซึ่งจะต้องรอในบทที่ 3 "เวลา และ โมเมนตัม" แต่หัวใจสำคัญของปรากฏการณ์ Tunnelling   ซุกซ่อนอยู่ใน Finite Square Well ที่เรากำลังเรียนอยู่นี้ เท่านั้นเอง

จงหาความน่าจะเป็น ที่อนุภาคจะอยู่นอกบ่อ

พิจารณาบ่อศักย์ ที่บังเอิญอนุภาคมีพลังงานในสถานะพื้น $E = \frac{V_0}{2}$ เพื่อความสะดวก เราจะวางบ่อศักย์ให้สมมาตร แล้ววาดกราฟของฟังก์ชันคลื่น $\psi$ ตลอดจน $\psi^2$ ดังแสดงในภาพที่ 7

ภาพที่ 7 ฟังก์ชันคลื่น และ ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

จากภาพ เมื่อ $x \in [L/2,\infty)$ ฟังก์ชันคลื่น $\psi(x) = B e^{-\kappa x}$ นอกจากนี้ ภาพที่ 7(ขวา) แสดง "ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น" หรือ $\psi^2$ ซึ่งมีพื้นที่ใต้กราฟ $2 \int^{\infty}_{L/2} \psi^2 dx$ หมายถึงความน่าจะเป็นที่อนุภาคจะอยู่นอกบ่อ สังเกตว่าเราอินทิเกรตเฉพาะซีกขวามือ แล้วค่อยคูณด้วย 2 เพราะ $\psi^2$ มีความสมมาตร ซ้ายขวา

ความน่าจะเป็น ที่อนุภาคจะอยู่นอกบ่อ = $2 \int^{\infty}_{L/2} \left( B e^{-\kappa x} \right)^2 dx$

($E = \frac{V_0}{2})$

จากตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา เราทราบว่า $A = \sqrt{\frac{2\kappa}{\kappa L+2}}$ และ $B = A cos(k L/2) e^{\kappa L /2}$ จึงแทนเข้าไปเพื่อคำนวณความน่าจะเป็น

$2 \int^{\infty}_{L/2} \left( B e^{-\kappa x} \right)^2 dx = 2 B^2 \underbrace{ \int^{\infty}_{L/2} e^{-2 \kappa x} dx }_{\frac{1}{2 \kappa}e^{-\kappa L}}= \frac{2 }{\kappa L + 2} cos^2(k L/2)$

($E = \frac{V_0}{2})$

ขั้นต่อไป เราเพียงหาค่า $k, \kappa$ เพื่อนำมาคำนวณความน่าจะเป็นข้างต้น อาศัยความสัมพันธ์ $E = \frac{V_0}{2}$ แทนเข้าในสมการ (10) จะได้ว่า

$k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2} = \frac{m V_0}{\hbar^2}$

($E = \frac{V_0}{2})$

และใช้สมการ (11) เพื่อคำนวณ $\kappa$

$\kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2} - k^2 = \frac{m V_0}{\hbar^2}$

($E = \frac{V_0}{2})$

นี้เป็นว่า $\kappa = k$   และจาก $\kappa = k tan(\frac{k L}{2})$ ในสมการ (13) แสดงว่า $tan(\frac{k L}{2}) = 1$ ซึ่งโดยเอกลักษณ์ของตรีโกณมิติแล้ว $tan(45^\circ) = 1 = tan(\frac{\pi}{4})$ ดังนั้น

$\frac{k L}{2} = \frac{\pi}{4}$   หรือ   $k L = \frac{\pi}{2} = \kappa L$

($E = \frac{V_0}{2})$

แทน $k L = \frac{\pi}{2} = \kappa L$ เข้าไปในความน่าจะเป็น ที่เราคำนวณค้างไว้ จะได้ว่า

$2 \int^{\infty}_{L/2} \left( B e^{-\kappa x} \right)^2 dx = \frac{2 }{\kappa L + 2} cos^2(k L/2) = \frac{2 }{\pi/2 + 2} cos^2(\pi/4)$

($E = \frac{V_0}{2})$

สุดท้ายได้ข้อสรุป ก็คือ

ความน่าจะเป็น ที่อนุภาคจะอยู่นอกบ่อ $= \frac{2}{\pi + 4} \approx 28\%$

($E = \frac{V_0}{2})$

มีความน่าจะเป็นถึง 28% !!! ปรากฏการณ์เช่นนี้ ไม่เคยมีมาก่อนในกลศาสตร์คลาสสิก !? เพราะถ้าเป็นอย่างนั้น โลกของเราคงกระโดดออกไปอยู่นอกระบบสุริยะ เป็นเวลาอย่างน้อย 3 เดือนใน 1 ปี แต่ในทางกลศาสตร์ควอนตัม กลับสามารถเป็นไปได้ (สำหรับอนุภาคที่มีขนาดเล็กเช่นอิเล็กตรอน)

ถ้าเป็นบ่อศักย์ทั่วๆไป อาจมีความน่าจะเป็น น้อยลงกว่านี้บ้าง โดยเฉพาะถ้าบ่อลึกมากๆจนยากที่อนุภาคจะทะลวงออกไป ตัวอย่างข้างต้นเป็นกรณีศึกษาที่คำนวณได้ชัดเจนและมีผลลัพธ์ออกมาเป็นเทอมที่เรียบง่าย เพียงพอในการแสดงประเด็นของ Quantum Tunnelling   กล่าวคือ   การที่ $E \lt V_0$ จะทำให้ผลเฉลยของสมการ Schrödinger อยู่ในรูป Exponential Decay หรือ $e^{-\kappa x}$ ยิ่งทะลวงล้วงลึกเข้าไปเท่าไหร่ ก็ยิ่งลดลงไป มากเท่านั้น แต่ไม่เท่ากับศูนย์ จึงมีโอกาสที่อนุภาคจะไปปรากฏตัว อยู่นอกบ่อศักย์ นั่นเอง

มากไปกว่านั้น ปรากฏการณ์ Quantum Tunnelling ยังถูกนำมาสร้างกล้องจุลทรรศน์กำลังขยายสูง ที่ส่องเห็นได้แม้กระทั่งอะตอม เรียกว่า Scanning Tunnelling Microscope อันเป็นงานชิ้นโบว์แดงระดับรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ในปี 1986 ซึ่งเราจะได้ศึกษาในรายละเอียด ในบทที่ 3 กันต่อไป

สรุป

เราได้ศึกษาบ่อศักย์แบบ Finite Square Well ซึ่งในภาพรวม มีหลักในการตั้งสมการ ไม่ต่างจากเดิมที่ผ่านมา คือ แบ่งบ่อศักย์ออกเป็นส่วนๆ, หาคำตอบทีละส่วน, แล้วนำมา "เย็บต่อกัน"

เป็นการสะดวก ที่เราจะวางบ่อศักย์ให้สมมาตร $-\frac{L}{2} \lt x \lt +\frac{L}{2}$ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันคลื่น ใน 2 ลักษณะ คือฟังก์ชันคู่ และ ฟังก์ชันคี่ โดยที่ทั้งสอง มีความสัมพันธ์ $\kappa = k tan(\frac{k L}{2})$ และ $\kappa = - k cot(\frac{k L}{2})$ ตามลำดับ

ในการคำนวณระดับพลังงาน จะต้องใช้การวาดกราฟ เพื่อหาค่า $k$ ที่เหมาะสม แล้วนำมาคำนวณต่อยอด เป็นพลังงาน หรือ เป็นฟังก์ชันคลื่น แต่หากจะคำนวณให้ สะดวก ขึ้นไปอีก เราอาจใช้ระบบ Atomic Unit ที่วัดระยะทางเป็น Bohr และ พลังงานเป็น Hartree

สุดท้าย นำมาประยุกต์เพื่อศึกษาอะตอมไฮโดรเจน โมเดลอย่างง่ายที่เราใช้ ให้ผลลัพธ์ของพลังงานเท่ากับ $E_H^{\text{(Model)}} = -17.1 \text{ eV}$ เทียบกับค่าจริง $E_H= -13.6 \text{ eV}$ ก็นับว่าไม่เลวนัก แม้เป็นโมเดลที่มีข้อจำกัดอยู่หลายประเด็น

จากที่เกริ่นไว้ในตอนต้น ว่ามนต์เสน่ห์ของควอนตัม อยู่ที่การประยุกต์ใช้กับสิ่งที่เรา มองไม่เห็น และในหัวข้อต่อไป เราจะได้ศึกษาพันธะเคมีของโมเลกุลอย่างง่ายที่สุดในเอกภพ นั่นคือ $\text{H}_2$ ด้วยโมเดลของบ่อศักย์แบบ Double Well Potential ที่ได้ปูพื้นทางคณิตศาสตร์ไว้แล้วในตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา ตลอดจนบ่อศักย์แบบ Dirac Delta อันเป็นรูปแบบที่พบบ่อยครั้ง ในกลศาสตร์ควอนตัม

ด้วยรักและผูกพัน, ทีปานิส ชาชิโย

Keyword: กลศาสตร์ควอนตัม, อะตอม ไฮโดรเจน, Finite Square Well, Double Potential Well

อ้างอิง

• [1] หัวข้อที่ 1 "Semi-Finite Square Well" บทที่ 2 https://teepanis.blogspot.com/2018/03/semi-finite-square-well.html
• [2] หนังสือ "กลศาสตร์ควอนตัมระดับอุดมศึกษา" https://sites.google.com/site/siamphysics/intro-quantum/online-textbook

บ่อศักย์ควอนตัม Semi-Finite Square Well

โดย ทีปานิส ชาชิโย ภาควิชาฟิสิกส์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยนเรศวร

ในบทที่ 1 "สมการ Schrödinger" [อ้างอิง 1] เราได้เรียนรู้การแก้สมการควอนตัมด้วยโมเดลอย่างง่ายแบบ Infinite Square Well และนำมาศึกษาเทคโนโลยีใหม่ที่เรียกว่า "Quantum Dot" ซึ่งถูกนำมาใช้สร้างเม็ดสี ในจอโทรทัศน์รุ่นใหม่ล่าสุดของ Samsung นั้น [อ้างอิง 2]

ในหัวข้อต่อไปนี้ เราจะได้ศึกษาโมเดลที่ซับซ้อนมากขึ้น ทำให้ได้ผลการคำนวณที่แม่นยำและสมจริงยิ่งขึ้น กล่าวคือ อิเล็กตรอนไม่จำเป็นต้องถูกขังอยู่ในบ่อศักย์เสมอไป แต่มักมีความน่าจะเป็นอยู่บางส่วนที่จะกระโดดออกมาข้างนอก หรือบางครั้ง หลุดออกไปเป็นอิสระหากมันมีพลังงานมากพอ สถานการณ์เช่นนี้เราใช้โมเดลของพลังงานศักย์แบบ Finite Square Well ดังแสดงในภาพ 1a)

ภาพที่ 1 ระบบ Quantum Well และตัวอย่างการประยุกต์ใช้งาน

ภายในบ่อ อนุภาคจะเคลื่อนที่โดยปราศจากแรงลัพท์มากระทำกับมัน อีกนัยหนึ่ง พลังงานศักย์มีค่าคงที่ (เท่ากับศูนย์) อยู่ภายในช่วง $0 \lt x \lt L$ ในขณะที่ ขอบบ่อ ก็มิได้สูงเป็นอนันต์เหมือนเช่นเดิมที่ผ่านมา แต่มีความสูงจำกัด (Finite) อยู่ค่าหนึ่ง แทนด้วยสัญลักษณ์ $V_0$

บ่อศักย์ในลักษณะนี้บางครั้งเรียกว่า Quantum Well และถูกนำมาเป็นโมเดลในการออกแบบเทคโนโลยีจำนวนมาก เช่น 1) เลเซอร์ ใช้เป็น Pointer เวลานำเสนอผลงาน หรือเป็นหัวอ่าน เครื่องเล่น DVD 2) โซล่าเซลล์ หรือ 3) Thermoelectric ที่สามารถเปลี่ยนพลังงานความร้อนให้เป็นกระแสไฟฟ้า โดยเราจะกล่าวถึงการประยุกต์ใช้งาน Quantum Well ในตอนท้ายของบทนี้ หลังจากที่นักศึกษามีความเข้าใจในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ของมัน ดีพอสมควร

อย่างไรก็ตาม การจะแก้สมการเพื่อหาฟังก์ชันคลื่น $\psi(x)$ และพลังงาน $E$ ของโจทย์ข้อนี้ มีทั้ง 1) ความยุ่งเหยิงทางคณิตศาสตร์ และ 2) แนวคิด ที่ซับซ้อนขึ้นกว่าเดิม จนทำใหันักศึกษาจำนวนมากจับต้นชนปลายไม่ถูก ว่าส่วนใดเป็นเพียงรายละเอียดเชิงคณิตศาสตร์ที่แคบๆ จำเพาะเจาะจงอยู่กับโจทย์แต่ละข้อ และส่วนใด? คือหลักใหญ่ใจความทางฟิสิกส์ที่สามารถปรับประยุกต์ไปใช้ได้ในสถานการณ์อื่นๆ ตามต้องการ

ดังนั้น เราจะเริ่ม จาก โจทย์ ที่ ง่าย ขึ้น โดยตัดความยุ่งเหยิงทางคณิตศาสตร์ไปทั้งหมด แต่ยังคง แนวคิดที่ซับซ้อนทางฟิสิกส์ที่จำเป็น ไว้อย่างสมบูรณ์

ภาพที่ 2 Semi-Finite Square Well

ดังแสดงในภาพ 2a) คือบ่อศักย์ แบบ Semi-Finite Square Well ที่ขอบบ่อด้านซ้ายมือมีค่าเป็นอนันต์ ทำให้อนุภาคไม่สามารถทะลวงออกไปนอกบ่อจากจุดนี้ได้ ในขณะที่ด้านขวามือ ขอบบ่อ กลับมีค่าจำกัดเท่ากับ $V_0$ เปิดโอกาสให้อนุภาคมีความน่าจะเป็นที่จะออกไปอยู่ข้างนอก โดยผ่าน ขอบทางด้านขวามือ

ในหัวข้อนี้ เราสนใจจะแก้หาผลเฉลยของฟังก์ชันคลื่น $\psi(x)$ ตลอดจนพลังงาน $E$ ของบ่อศักย์ แบบ Semi-Finite Square Well

แบ่งบ่อศักย์ออกเป็นส่วนๆ, หาคำตอบทีละส่วน, แล้วนำมา "เย็บต่อกัน"

ดังแสดงในภาพที่ 2b เราแบ่งพื้นที่ออกเป็น 2 ส่วน

ในส่วนที่ (I) ซึ่งอยู่ภายในช่วง $0 \lt x \lt L$ เราเขียนสมการ Schrödinger เฉพาะในบริเวณนี้ได้ว่า

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi_I(x) = E \psi_I(x) ; \qquad (0 \lt x \lt L)$

(2.1)

สังเกตว่าในสมการข้างต้น ปราศจากเทอมของพลังงานศักย์ $V(x)\psi_I(x)$ เพราะ $V(x)=0$ ในพื้นที่ส่วนนี้ ทำให้มี ลักษณะไม่ต่างจากกรณี Infinite Square Well ในบทที่ 1 ดังนั้น ผลเฉลยอยู่ในรูปของ

$\psi_I(x) = A sin(k x) ; \qquad (0 \lt x \lt L)$

โดยเราจะต้องคำนวณหาค่า ของตัวแปร $A$ และ $k$ กันต่อไป

ในส่วนที่ (II) ซึ่งอยู่ในช่วง $L \leq x \lt \infty$ เราเขียนสมการ Schrödinger ในบริเวณนี้ได้ว่า

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi_{II}(x) + V_0 \psi_{II}(x)= E \psi_{II}(x) ; \qquad (L \leq x \lt \infty)$

(2.2)

เนื่องจากทั้ง $V_0$ และ $E$ ล้วนเป็นค่าคงที่ เราแก้สมการข้างต้นได้โดยไม่ยากนัก โดยนำค่าคงที่ทั้งสอง พร้อมทั้ง $-\tfrac{\hbar^2}{2m}$ มาไว้ทางขวามือของสมการ ทำให้

$\frac{d^2}{dx^2} \psi_{II}(x) = \frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2} \psi_{II}(x) ; \qquad (L \leq x \lt \infty)$

พิจารณากรณี ที่อนุภาคถูกจำกัดอยู่แต่ภายใน หรืออยู่ใกล้ๆกับบ่อศักย์ (Bound State) ดังนั้นมันมีพลังงานน้อยกว่าขอบบ่อ หรือ $E \lt V_0$

ข้อกำหนดข้างต้น สามารถตีความขยายผลถึงพฤติกรรมทางฟิสิกส์ที่ตามมาอีกหลายประเด็น แต่ตอนนี้ เพื่อไม่ให้การไล่เรียงเนื้อหาติดขัด แยกแตกปลายออกไปหลายส่วน เราจะเพียงกำหนดให้ $E \lt V_0$ แล้ววกกลับมาขยายความอีกทีหนึ่ง

เมื่อ $E \lt V_0$ ย่อมหมายถึงเทอม $\frac{2m(V_0 - E)}{\hbar^2}$ มีค่าเป็นบวก และจากสมการข้างต้น เราจะต้องหาฟังก์ชัน $\psi_{II}(x)$ ที่อนุพันธ์อันดับสองของมัน ยังคงเป็นบวก ของตัวมันเอง ฟังก์ชันที่เข้าเงื่อนไขนี้ ก็คือ Exponential $e^{+\kappa x}$ หรือ $e^{-\kappa x}$ แล้วเราจะเลือกอย่างใด?

เมื่อค่อยๆเลื่อนไปทางขวาตามแกน $x$ เราจะเคลื่อนไกลออกจากบ่อศักย์มากขึ้นเรื่อยๆ กรณีแรก $e^{+\kappa x}$ มีค่าเพิ่มขึ้น ทวีสูงขึ้นเป็นเอ็กซ์โพเนนเชียล นี้ส่งผลให้ฟังก์ชันคลื่น(รวมทั้งความน่าจะเป็น) มีค่าสูงขึ้นเป็นอนันต์ กล่าวคือ อนุภาคชอบที่จะหนีไปไกลที่สุดเท่าที่จะทำได้ ขัดเงื่อนไขที่ตั้งไว้แต่แรกว่า "ถูกจำกัดอยู่แต่ภายใน หรืออยู่ใกล้ๆกับบ่อศักย์" จึงต้องตัดผลเฉลย $e^{+\kappa x}$ ทิ้งไปโดยปริยาย

กรณีที่สอง $e^{-\kappa x}$ เป็นรูปแบบของ Exponential Decay คือ ลดลงเรื่อยๆจนเป็นศูนย์เมื่ออยู่ไกลมาก นี้เป็นว่า อนุภาคมีความน่าจะเป็นสูงสุด ที่จะอยู่ใกล้ๆกับบ่อศักย์ ซึ่งสอดคล้อง พอดีกับเงื่อนไขที่เราต้องการ จึงได้ว่า

$\psi_{II}(x) = B e^{-\kappa x} ; \qquad (L \leq x \lt \infty)$

ตัวแปร $B$ ที่เราใส่ไว้ข้างหน้า ก็เพื่อทำให้ผลเฉลยทางคณิตศาสตร์ อยู่ในรูปทั่วไป ไม่เฉพาะเจาะจงว่ามีค่าเป็นเท่าไหร่กันแน่ (ยกตัวอย่างเช่น ขั้นนี้เรายังไม่ทราบแน่ชัดว่า $\psi_{II}(x) = e^{-\kappa x}$ หรือ $\psi_{II}(x) = 3 e^{-\kappa x}$ หรือ $\psi_{II}(x) = 8 e^{-\kappa x}$ กันแน่!? เพราะล้วนทำให้สมการ (2.2) เป็นจริงทั้งสิ้น จึงต้องติด เป็นตัวแปร $B$ ไว้ก่อน เพื่อคำนวณหาค่าที่แท้จริงในภายหลัง)

มาถึงขั้นนี้ เราได้แยกบ่อศักย์ออกเป็นส่วนๆ พร้อมทั้งเขียนผลเฉลยของแต่ละส่วนออกมาได้แล้ว สรุปได้ว่า

$\psi_I(x) = A sin(k x) ; \qquad (0 \lt x \lt L)$	(2.3)
$\psi_{II}(x) = B e^{-\kappa x} ; \qquad \quad (L \leq x \lt \infty)$	(2.4)

จะเห็นว่าแต่ละฟังก์ชัน ต่างก็มีพื้นที่เขตอิทธิพลของตัวเอง และเพื่อจะได้ฟังก์ชันคลื่นที่สมบูรณ์ตลอดช่วง เราจะต้องสร้างสมการขึ้นมาอีกชุดหนึ่ง เพื่อวิเคราะห์ค่าของตัวแปร $A,k,B,\kappa$ ให้ครบถ้วน

"เย็บต่อกัน" ด้วยเงื่อนไข ความต่อเนื่อง ของฟังก์ชันคลื่น

ณ รอยต่อระหว่างพื้นที่ทั้งสอง $x=L$ ที่ทั้งฟังก์ชัน $\psi_I$ และ $\psi_{II}$ มาบรรจบกันพอดี ฟังก์ชันคลื่น จะต้องมีเส้นกราฟที่ต่อเนื่อง ไม่มีการหักงอ หรือขาดเป็นท่อนๆ และเพื่อให้นักศึกษาเข้าใจสมบัติทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "ความต่อเนื่อง" ได้ง่ายขึ้น พิจารณาภาพที่ 3

ภาพที่ 3 การนำฟังก์ชันมาเย็บต่อกัน

ฟังก์ชันทางซ้าย คือ $f(x)$ ในขณะที่ทางขวาคือ $g(x)$ มาบรรจบกันที่จุด L

• ภาพ a) คือกรณีที่ทั้งสอง ขาดเป็นสองท่อน นี้แสดงว่าไม่ต่อเนื่องอย่างชัดเจน
• ภาพ b) คือกรณีที่เริ่มต่อติด แต่มีการหักงอ ในทางคณิตศาสตร์เขียนได้ว่า $f(L) = g(L)$ การหักงอที่ปรากฎ เกิดจากการที่ฟังก์ชันทั้งสอง มีความชันไม่เท่ากัน ดังแสดงโดยเส้นประในภาพ ว่าเอียงไปคนละทิศ ละทาง
• ภาพ c) คือการที่ทั้งสอง ต่อติดกัน หรือ "เย็บ ติด กัน" แนบชิดสนิทสมบูรณ์ แสดงว่าทั้ง 1) ค่าของฟังก์ชัน และ 2) ความชันของมัน ล้วนมีค่าเท่ากัน หรือเขียนได้เป็น 2 สมการ คือ $f(L) = g(L)$ และ $\frac{df}{dx} = \frac{dg}{dx}$ ณ $x = L$

วกกลับมาที่ฟังก์ชันคลื่นใน 2 บริเวณ $\psi_I$ และ $\psi_{II}$ เราสามารถใช้เงื่อนไขความต่อเนื่อง สร้างเป็น 2 สมการ คือ $\psi_I(L) = \psi_{II}(L)$ และ $\frac{d \psi_I}{dx} = \frac{d \psi_{II}}{dx}$ แล้วแทนค่า $x = L$ จะได้ว่า

$\quad A sin(k L) = B e^{-\kappa L}$	(2.5)
$k A cos(k L) = - \kappa B e^{-\kappa L}$	(2.6)

นี้เอง คือ 2 สมการที่เกิดขึ้น จากการเย็บรอยต่อ 1 ครั้ง และหากเป็นบ่อศักย์ที่ซับซ้อนมากขึ้น มีจำนวนรอยต่อมากยิ่งขึ้น จะได้จำนวนสมการเป็น 2 เท่า ของจำนวนรอยต่อที่มี อาทิเช่น กรณี Finite Square Well ดังในภาพ 1a) ที่มี 2 รอยต่อ เราสามารถสร้างได้ 2x2=4 สมการ โดยอาศัยวิธี "เย็บติดกัน" ดังกล่าว

สร้างสมการด้วยการโยงเข้าหาพลังงาน

ลำพังสมการ (2.5) และ (2.6) ไม่เพียงพอในการวิเคราะห์หาตัวแปรจำนวณ 4 ตัว คือ $A,k,B,\kappa$ เราสามารถสร้างสมการอีกจำนวนหนึ่ง ด้วยการโยงตัวแปร $k$ และ $\kappa$ เข้าหาพลังงาน โดยอาศัยสมการ Schrödinger ที่เขียนขึ้นในแต่ละพื้นที่ของตัวเอง กล่าวคือ

แทน $\psi_I(x)$ เข้าไปในสมการ (2.1) จะได้ความสัมพันธ์

$k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2}$

(2.7)

แทน $\psi_{II}(x)$ เข้าไปในสมการ (2.2) จะได้ว่า

$\kappa^2 = \frac{2 m (V_0-E)}{\hbar^2}$

(2.8)

ซึ่งเมื่อนำสมการ (2.7) และ (2.8) ข้างต้น มาบวกกันเข้าทั้งสองข้าง จะได้ความสัมพันธ์ระหว่าง $k$ และ $\kappa$ อีกอันหนึ่ง

$k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$

(2.9)

สร้างสมการสุดท้าย ด้วย Normalization

จากบทที่ 1 เราทราบว่า Normalization หมายถึงการที่ความน่าจะเป็นสุทธิต้องมีค่าเท่ากับ 1 ซึ่งเมื่อโยงเข้ามาในบริบทของฟังก์ชันคลื่น จะได้ว่า

$\int_0^\infty \psi^2(x) dx = 1$

โดยเราสามารถประยุกต์ใช้กับฟังก์ชันคลื่นใน 2 ช่วง ดังในสมการ (2.3) และ (2.4) ได้ว่า

$\int_0^L \psi^2_{I}(x) dx + \int_L^\infty \psi^2_{II}(x) dx = 1$

หรือ

$A^2 \int_0^L sin^2(k x) dx + B^2 \int_L^\infty e^{-2 \kappa x} dx = 1$

(2.10)

กล่าวโดยสรุป เพื่อต้องการหาค่า ของตัวแปร $A,k,B,\kappa$ เราสร้างสมการขึ้นมาชุดหนึ่ง โดยอาศัย 3 กระบวนการด้วยกัน คือ 1) "เย็บติดกัน" 2) โยงเข้าหาพลังงาน และ 3) ด้วยหลักการ Normalization และก่อนที่เราจะถาโถมเข้าสู่คณิตศาสตร์ของการแก้สมการเหล่านี้ จะได้สรุปสมการทั้งสี่ ไว้อีกครั้งหนึ่ง

$\quad A sin(k L) = B e^{-\kappa L}$	(2.11)
$k A cos(k L) = - \kappa B e^{-\kappa L}$	(2.12)
$k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$	(2.13)
$A^2 \int_0^L sin^2(k x) dx + B^2 \int_L^\infty e^{-2 \kappa x} dx = 1$	(2.14)

---

ตัวอย่างโจทย์

จงสร้างสมการสำหรับบ่อศักย์แบบ Finite Square Well ในภาพ 1a) โดยสมมุติให้อนุภาคเป็นแบบ Bound State คืออยู่ภายใน หรือใกล้เคียงกับบ่อศักย์

วิธีทำ

แบ่งพื้นที่ออกเป็น 3 ส่วน (I) นอกบ่อด้านซ้าย (II) ในบ่อ และ (III) นอกบ่อด้านขวา จากนั้นเขียนสมการ Schrödinger ของแต่ละพื้นที่ออกมาได้ว่า

$\displaylines{ \qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi_{I}(x) + V_0 \psi_{I}(x)= E \psi_{I}(x) ; \qquad (-\infty \lt x \leq 0) \cr \qquad \qquad -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi_{II}(x) = E \psi_{II}(x) ; \qquad (0 \lt x \lt L) \cr -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} \psi_{III}(x) + V_0 \psi_{III}(x)= E \psi_{III}(x) ; \qquad (L \leq x \leq \infty) }$

สังเกตว่า พลังงาน $E$ เป็นตัวแปรเดียวกัน มีค่าเท่ากัน ทั้งใน 3 พื้นที่ เพราะมันเป็นสมบัติ(โดยภาพรวม)ของทั้งระบบ ไม่ได้จำเพาะเจาะจงอยู่กับบริเวณใดบริเวณหนึ่ง จากนั้น แก้สมการในแต่ละส่วน พร้อมติดตัวแปรที่ไม่ทราบค่าไว้ก่อน

$\displaylines{ \psi_{I}(x) = B_1 e^{+\kappa x} \qquad \qquad \qquad \quad \cr \psi_{II}(x) = A_1 sin(k x ) + A_2 cos(k x) \cr \psi_{III}(x) = B_2 e^{-\kappa x} \qquad \qquad \qquad \quad }$

ในพื้นที่ของ $\psi_{I}(x)$ มีเลขยกกำลังเป็น $+\kappa x$ ก็เพราะในบริเวณนี้ พิกัด $x$ ติดลบอยู่ก่อนแล้ว จึงทำให้ $e^{+\kappa x}$ มีค่าน้อยมากเมื่ออยู่ไกลจากบ่อศักย์ สอดคล้องกับเงื่อนไข Bound State ที่โจทย์กำหนดให้

ในพื้นที่ของ $\psi_{II}(x)$ มี 2 ฟังก์ชัน $sin$ และ $cos$ ปรากฎอยู่ เนื่องจาก ขอบบ่อด้านซ้าย ไม่ได้ สูงเป็นอนันต์ เราไม่อาจใช้เงื่อนไข $\psi(0) = 0$ มาตัด $cos$ ทิ้งไป (เหมือนที่เคยทำในกรณี Infinite Square Well) จึงต้องคงไว้ ทั้ง 2 ตัว

ในพื้นที่ของ $\psi_{III}(x)$ มีลักษณะเป็น Exponential Decay

จะเห็นว่ามีตัวแปรที่ไม่ทราบค่าทั้งสิ้น 6 ตัว คือ $B_1, A_1, A_2, B_2, k, \kappa$ เราจึงจำเป็นต้องสร้าง 6 สมการขึ้นมาเช่นเดียวกัน และเมื่ออาศัยกระบวนการ "เย็บติดกัน" จะได้ 2x2 = 4 สมการ(เพราะมีอยู่สองรอยต่อ) กระบวนการโยง $k, \kappa$ เข้าหาพลังงาน ได้อีก 1 สมการ และสุดท้าย ใช้หลัก Normalization จึงครบ 6 พอดี

ณ รอยต่อ $x = 0$ เราเย็บ $\psi_{I}(x)$ และ $\psi_{II}(x)$ เข้าด้วยกัน ทำให้

$\displaylines{ B_1 = A_2 \cr \kappa B_1 = k A_1 }$

ณ รอยต่อ $x = L$ เราเย็บ $\psi_{II}(x)$ และ $\psi_{III}(x)$ เข้าด้วยกัน จะได้

$\displaylines{ A_1 sin(k L) + A_2 cos(k L) = B_2 e^{-\kappa L} \cr k A_1 cos(k L) - k A_2 sin(k L) = -\kappa B_2 e^{-\kappa L} }$

อีก 1 สมการได้จากการโยงเข้าหาพลังงาน กล่าวคือ แทน $\psi_{I}(x)$ และ $\psi_{II}(x)$ เข้าไปในสมการ Schrödinger ในพื้นที่ของตัวเอง จากนั้นทำผลลัพท์ที่ได้ มาบวกกันเข้า จะได้ว่า

$k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$

สุดท้าย เป็นการใช้เงื่อนไข Normalization กล่าวคือ

$\int_{-\infty}^0 \psi^2_{I}(x) dx + \int_0^L \psi^2_{II}(x) dx + \int_L^\infty \psi^2_{III}(x) dx = 1$

จึงได้สมการทั้ง 6 ข้างต้น เพื่อวิเคราะห์หา $B_1, A_1, A_2, B_2, k, \kappa$ ต่อไป ตอบ

---

คำนวณพลังงานของอนุภาค

ในจำนวนตัวแปรทั้ง 4 ของ Semi-Finite Square Well เราจะเริ่มด้วยการหาค่า $k, \kappa$ เสียก่อน ทั้งนี้เพราะตัวแปรทั้งสอง ยึดโยงอยู่กับพลังงานของระบบ $k^2 = \frac{2 m E}{\hbar^2}$ และ $\kappa^2 = \frac{2 m (V_0-E)}{\hbar^2}$ ดังในสมการ (2.7) และ (2.8) ดังนั้นหากเราทราบค่า $k, \kappa$ ก็จะทำให้ทราบระดับพลังงาน $E$ ของระบบโดยปริยาย

จากบทที่ 1 เราทราบว่า ระดับพลังงาน $E$ มีความสำคัญมากในการวิเคราะห์ของกลศาสตร์ควอนตัม เราใช้มันคำนวณสเปกตรัมการดูดกลืนแสง ของ Quantum Dot และในงานวิจัย พลังงานของโมเลกุล สามารถทำนายโครงสร้างทางเคมีของของมันได้อย่างแม่นยำ [อ้างอิง 3] นอกจากนี้ พลังงาน ยังเป็นฐานในการคำนวณแรงที่โมเลกุลได้รับ ทำให้สามารถจำลองการเคลื่อนที่ใน 3 มิติ ของแต่ละอะตอม ดังในภาพที่ 4 แสดงการจำลองที่เรียกว่า Quantum Molecular Dynamics ของอะตอมฮีเลียมพุ่งเข้าชนใจกลางของเบนซีน ด้วยโปรแกรม Siam Quantum

ภาพที่ 4 แสดงภาพการจำลอง Quantum Molecular Dynamics

วกกลับมาที่ Semi-Finite Square Well และสมการทั้ง 4 ที่เราสร้างขึ้น (2.11)-(2.14) เพื่อหาค่า $k, \kappa$ เราหารสมการ (2.11) ด้วย (2.12) เพื่อกำจัดตัวแปรอื่นที่ไม่เกี่ยวข้องออกไป ทำให้

$\kappa = -\frac{k}{tan(k L)}$

(2.15)

ผนวกกับสมการ (2.13) $k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$ ที่มีอยู่เดิม ประเด็นมีอยู่ว่า เราจะแก้หาค่า $k$ ได้อย่างไร ?

ความจริงที่ขมขื่นสำหรับบ่อศักย์ในลักษณะนี้ก็คือ เราไม่สามารถหาค่า $k$ ออกมาได้โดยตรง จำต้องใช้เครื่องคิดเลข หรือการวาดกราฟ ซึ่งจะว่าไป ขัดกับความพยายามตั้งแต่ต้นที่อุตส่าห์เขียนสมการเสียยืดยาว หวังแก้หาผลเฉลยออกมาเป็นรูปแบบคณิตศาสตร์ที่รัดกุมลงตัว หากท้ายที่สุดต้องใช้เครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์เข้าช่วย มิใยใช้คอมพิวเตอร์ตั้งแต่ต้น ไม่ต้องมาทดเลขให้วุ่นวายใจ

เราหาค่า $k,\kappa$ ที่ทำให้สมการ (2.13) และ (2.15) เป็นจริง ด้วยการวาดเส้นโค้ง 2 เส้นบนกราฟ โดยให้แกนนอนเป็น $k$ และแกนตั้งเป็น $\kappa$ ดังแสดงในภาพที่ 5 เส้นโค้งอันแรกคือวงกลม $k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$ แทนด้วยสีแดง ที่มีรัศมีเท่ากับ $\frac{\sqrt{2 m V_0}}{\hbar}$ เส้นโค้งที่สองคือ ฟังก์ชัน $\kappa = -\frac{k}{tan(k L)}$ แทนด้วยสีน้ำเงิน จุดที่กราฟทั้งสองตัดกัน คือจุด $k,\kappa$ ที่ทำให้สมการทั้งสอง เป็นจริง

ภาพที่ 5 การวาดกราฟเพื่อคำนวณค่า k (ปริมาณฟิสิกส์บนกราฟใช้ระบบหน่วยวัด Atomic Unit)

จากภาพจะเห็นว่า มีจุดตัดเกิดขึ้นเพียง 3 จุด แสดงว่าสถานะของอนุภาคที่เป็น Bound State มีเพียง 3 สถานะ โดยแต่ละสถานะ สามารถคำนวณพลังงานได้ โดยอาศัยค่า $k$ ที่อ่านจากกราฟ แล้วนำมาแทนในสูตร $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2 m}$

---

ตัวอย่างโจทย์

วิศวกรออกแบบระบบควอนตัมด้วยโมเดล Semi-Finite Square Well ต้องการสถานะพื้น $E_1$ ที่มีพลังงานเป็นกึ่งหนึ่ง ของขอบบ่อศักย์ซึ่งสูงเป็น $V_0 = 2 \text{eV}$ เขาจะต้องตัดชิ้นงานหนา กี่นาโนเมตร? (กำหนดให้อนุภาคมีมวลเป็น 0.067 เท่าของอิเล็กตรอน)

วิธีทำ

แม้ว่าในกรณีทั่วไป จำต้องใช้การวาดกราฟในการหาพลังงาน แต่หากเป็นกรณีพิเศษ เราสามารถคำตอบในรูปแบบคณิตศาตร์ที่สมบูรณ์ได้ โจทย์บอกว่า ต้องการ $E = \frac{V_0}{2}$ เราจะใช้ความสัมพันธ์อันนี้ แทนเข้าในสมการ (2.7) เพื่อหาค่า $k$

$k^2 = \frac{m V_0}{\hbar^2}$

จากนั้นคำนวณ $\kappa$ ด้วยสมการ (2.13)

$\kappa^2= \frac{m V_0}{\hbar^2}$

นี้เป็นว่า ในกรณีพิเศษที่โจทย์ต้องการนี้ มีเงื่อนไข $k = \kappa$ ซึ่งเมื่อแทนเข้าในสมการ (2.15) จะเชื่อมโยงไปถึง ความหนา $L$ ของบ่อศักย์

$tan(k L) = -1$

ในเนื้อหาของตรีโกณมิติ $tan(135^\circ) = -1$ ดังนั้น $k L = 135^\circ = \frac{3 \pi} {4}$ และเมื่อใช้หน่วยเรเดียน จะได้ว่า $L = \frac{3 \pi} {4 k}$ ผนวกกับ $k^2 = \frac{m V_0}{\hbar^2}$ ข้างต้น ทำให้ได้ข้อสรุปก็คือ

$L = \frac{3 \pi \hbar} {4 \sqrt{m V_0}}$

เราสามารถตรวจสอบการคำนวณข้างต้น ด้วยการวาดกราฟ ดังแสดงในภาพ ซึ่งจะพบว่า จุดตัดเกิดขึ้นเพียง 1 ครั้ง แสดงว่ามีสถานะ Bound State เพียงอันเดียว ทั้งยังตัดกัน ณ ตำแหน่ง $k=\kappa$ สอดคล้องกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ข้างต้น

เมื่อแทนค่ามวลและความสูงของบ่อศักย์ จะได้ L = 1.78 นาโนเมตร ตอบ

หมายเหตุ มวลที่ใช้ในโจทย์ข้อนี้คือมวลยังผลของอิเล็กตรอนในสาร GaAs (แกลเลียมอาซาไนต์) หนึ่งในส่วนประกอบยอดนิยมของโซล่าเซลล์ประสิทธิภาพสูง(สูงกว่าที่ทำด้วยซิลิกอน) และพลังงาน 2eV คือพลังงานของแสงสีเหลือง-แดง ความยาวคลื่น 612 นาโนเมตร (นอกจาก GaAs จะมีประสิทธิภาพสูงแล้วยังมีพิษต่อสิ่งแวดล้อม ในขณะที่ซิลิกอนคือสารที่อยู่ในเม็ดทรายธรรมดานี่เอง)

---

---

การบ้าน

จากสมการทั้ง 6 ของโมเดล Finite Square Well ในตัวอย่างโจทย์ จงเขียนสมการเพื่อใช้ในการแก้หา $k, \kappa$ อันจะนำไปสู่การคำนวณพลังงานของระบบ

เฉลย $k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$ และ $(k^2-\kappa^2)sin(k L ) - 2 k \kappa cos(k L) = 0$

---

---

การบ้าน Hardcore

ปรับตำแหน่งของบ่อศักย์ Finite Square Well เดิมในภาพ 1a) ให้กลายเป็นสมมาตรซ้ายขวา กล่าวคือ บ่ออยู่ระหว่าง $-\frac{L}{2} \lt x \lt +\frac{L}{2}$ จากนั้น ก) สร้างสมการที่เกี่ยวข้องกับ $k, \kappa$ และ ข) วาดกราฟแสดงให้เห็นว่า ผลเฉลยของ $k, \kappa$ (จุดตัดของกราฟ) มีค่าเท่ากัน กับการวางบ่อศักย์ในกรณีที่ผ่านมา

เฉลย ก) $k^2 + \kappa^2 = \frac{2 m V_0}{\hbar^2}$ และ $\kappa = k tan(\frac{k L}{2})$ สำหรับผลเฉลยแบบฟังก์ชันคู่ หรือ $\kappa = - k cot(\frac{k L}{2})$ สำหรับผลเฉลยแบบฟังก์ชันคี่

บอกใบ้ ข) ปรับรูป $(k^2-\kappa^2)sin(k L ) - 2 k \kappa cos(k L) = 0$ ให้เป็นสมการกำลังสอง $a \kappa^2 + b \kappa + c = 0$ จากนั้นถอดรากออกเป็น $\kappa = \frac{-k cos(k L) \pm k}{sin(k L)}$ แล้วใช้เอกลักษณ์ $sin(x) = 2 sin(\frac{x}{2}) cos(\frac{x}{2})$ และ $cos(x) = cos^2(\frac{x}{2}) - sin^2(\frac{x}{2})$ ตลอดจน $1 = cos^2(\frac{x}{2}) + sin^2(\frac{x}{2})$ ให้เป็นประโยชน์

---

---

ตัวอย่างโจทย์

วิศวกรออกแบบระบบควอนตัมด้วยโมเดล Finite Square Well ต้องการสถานะพื้น $E_1$ ที่มีพลังงานเป็น กึ่งหนึ่ง ของขอบบ่อศักย์ซึ่งมีความสูง $V_0$ เขาจะต้องตัดชิ้นงานให้มีความหนา $L$ เป็นเท่าใด?

วิธีทำ

ในทำนองเดียวกับตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา เงื่อนไข $E = \frac{V_0}{2}$ ส่งผลให้ $k = \kappa$ ซึ่งเมื่อพิจารณาความสัมพันธ์ $(k^2-\kappa^2)sin(k L ) - 2 k \kappa cos(k L) = 0$ ของ Finite Square Well แล้วพบว่า

$cos(k L) = 0$

กล่าวคือ $k L$ เท่ากับมุม 90 องศา หรือ $k L = \frac{\pi}{2}$ ดังนั้นจะได้ว่า

$L = \frac{\pi \hbar} {2 \sqrt{m V_0}} \qquad$ ตอบ

---

คำนวณฟังก์ชันคลื่น

หลังจากที่ได้คำนวณค่า $k$ ในหัวข้อที่ผ่านมา ด้วยการวาดกราฟก็ดี หรืออาศัยกรณีพิเศษดังในตัวอย่างโจทย์ก็ดี ก็จะได้ $\kappa$ โดยปริยาย เพราะจากสมการ (2.15) $\kappa = -\frac{k}{tan(k L)}$ และในขั้นสุดท้าย เราจะคำนวณตัวแปร $A, B$ เพื่อจะได้รูปแบบของฟังก์ชันคลื่น ที่สมบูรณ์

จากสมการ (2.11) เราเขียน $B = A e^{\kappa L} sin(k L)$ เพราะฉะนั้น ฟังก์ชันคลื่นในพื้นที่ (II) อยู่ในรูป

$\psi_{II} = A e^{\kappa L} sin(k L) e^{-\kappa x}$

โดยเราสามารถคำนวณค่า $A$ ได้จากเงื่อนไข Normalization ในสมการ (2.14) กล่าวคือ

$A^2 \int_0^L sin^2(k x) dx + A^2 e^{2 \kappa L} sin^2(k L) \int_L^\infty e^{-2 \kappa x} dx = 1$

อาศัยผลการอินทิเกรต $\int_0^L sin^2(k x) dx = \frac{L}{2} - \frac{sin(2 k L)}{4 k}$ และ $\int_L^\infty e^{-2 \kappa x} dx = \frac{e^{-2 \kappa L}}{2 \kappa}$ เราคำนวณค่า $A$ ได้ว่า

$A = \frac{1}{\sqrt{ \frac{L}{2} - \frac{sin(2 k L)}{4 k} + \frac{sin^2(k L)}{2 \kappa} } }$

จัดรูปให้แลดูสวยงาม ด้วยความสัมพันธ์ในสมการ (2.15) $k = - \kappa tan(k L)$ ทำให้ $- \frac{sin(2 k L)}{4 k} = \frac{2 sin(k L) cos( k L)}{4 \kappa tan(k L)} = \frac{cos^2(k L)}{2 \kappa}$ ดังนั้น $A$ ข้างต้น ลดรูปเหลือเพียง

$A = \sqrt{ \frac{2 \kappa} {\kappa L + 1} }$

หากใช้ข้อมูลของมวลและบ่อศักย์ดังในภาพที่ 5 จะสามารถวาดฟังก์ชันคลื่นดังแสดงในภาพที่ 6

ภาพที่ 6 แสดงฟังก์ชันคลื่นของสองสถานะ (แกนนอนในหน่วย Bohr, 2 นาโนเมตร = 37.8 Bohr)

ตรวจสอบด้วยสายตา พบว่าลักษณะของฟังก์ชันมีการต่อเนื่อง ดังที่กำหนดไว้ในขั้นตอนทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไป การวิเคราะห์หาฟังก์ชันคลื่นมักมิได้ใช่บ่อยครั้งนักในกลศาสตร์ควอนตัม ดังนั้น นักศึกษามีโอกาสน้อยที่จะต้องพบกับความโหดร้ายของคณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์ของหัวข้อนี้

---

การบ้าน

ในกรณีพิเศษที่กำหนดให้ พลังงานของอนุภาค มีค่าเป็นกึ่งหนึ่ง ของขอบบ่อในตัวอย่างโจทย์ที่ผ่านมา จงคำนวณว่าอนุภาคมีโอกาสกี่ % ที่จะอยู่ภายนอกบ่อศักย์ (Semi-Finite Square Well)

เฉลย ความน่าจะเป็น $\frac{2}{3\pi+4}$ คิดเป็น 14.9%

---

สรุป

ในเบื้องต้นนี้ เราได้ศึกษาวิธีคำนวณฟังก์ชันคลื่น และที่สำคัญ พลังงานของระบบ Semi-Finite Square ด้วยการแบ่งบ่อศักย์ออกเป็นส่วนๆ หาคำตอบทีละส่วน แล้วนำมา "เย็บต่อกัน" โดยอาศัยเงื่อนไขความต่อเนื่อง ซึ่งก็คือ ฟังก์ชันจะต้องมีค่าเท่ากัน และมีความชันเท่ากัน ณ บริเวณรอยต่อ

การสร้างผลเฉลย จะทำให้เกิดตัวแปรที่ไม่ทราบค่า ซึ่งเราจะต้องหา ด้วยการสร้างสมการขึ้นมาชุดหนึ่ง อันประกอบด้วย 1) สมการ ณ รอยต่อ 2) สมการที่เกิดจากการโยงเข้าหาพลังงาน และ 3) สมการของ Normalization และถึงแม้จะเป็นเพียงโจทย์ที่ถูกลดรูปให้ง่ายขึ้น แต่โดยไม่รู้ตัว เราได้สร้างสมการของ Finite Square Well ขึ้นมาอย่างง่ายดาย โดยอาศัยความเข้าใจของโจทย์อย่างง่ายอันนี้ เป็นพื้นฐาน

ในลำดับต่อไป จะมีอีกหลายประเด็นที่เราต้องขยายความให้ชัดเจน

• กรณีที่ $E > V_0$ จนทำให้อนุภาคหนีออกไปไกลจากบ่อ มีลักษณะอย่างไร?
• เงื่อนไขที่ว่า ฟังก์ชันคลื่น มีความต่อเนื่อง มีข้อยกเว้นหรือเปล่า?
• การประยุกต์ใช้งานของ Quantum Well ดังที่เกริ่นไว้ตอนต้น ว่าใช้สร้างเลเซอร์ โซล่าเซลล์ หรือ Thermoelectric มีรายละเอียดอย่างไร?
• โจทย์วิจัยต่างๆที่เกี่ยวข้อง ที่สามารถให้นักศึกษา ค้นคว้าเพิ่มเติมหรือต่อยอดไปเป็นโปรเจคขนาดย่อม มีแนวทางใดบ้าง?

ด้วยรักและผูกพัน, ทีปานิส ชาชิโย

Keyword: กลศาสตร์ควอนตัม, สมการชโรดิงเจอร์

อ้างอิง

• [1] หนังสือ "กลศาสตร์ควอนตัมระดับอุดมศึกษา" https://sites.google.com/site/siamphysics/intro-quantum/online-textbook
• [2] Samsumg QLED Display
• [3] Siam Quantum โปรแกรมจำลองโมเลกุลในสาขาเคมีควอนตัม https://sites.google.com/site/siamquantum/

งานที่กระทำกับระบบ - เทอร์โมไดนามิกส์

โดย ทีปานิส ชาชิโย

จากกฎข้อ 1 ของเทอร์โมไดนามิกส์ที่ผ่านมา [อ้างอิง 1] เราได้เห็นแล้วว่า งานที่กระทำกับระบบ เป็นปัจจัยหนึ่งที่ทำให้ระบบมีพลังงาน เปลี่ยนแปลงไป และในหัวข้อต่อไปนี้ จะได้พิจารณาในรายละเอียด ถึงขั้นตอนในการคำนวณ "งาน" ดังกล่าว ว่าเกี่ยวข้องกับสมบัติทางกายภาพ เช่น ความดัน และปริมาตร อย่างไรบ้าง

พิจารณาระบบ เช่นแก๊สที่บรรจุอยู่ภายในลูกสูบ เมื่อมีแรงลัพธ์จากภายนอก $F$ เข้ามากระทำ ส่งผลให้ลูกสูบหดสั้นลงเป็นระยะทาง $dx$ เพราะฉะนั้น งานที่กระทำกับระบบ มีค่าเท่ากับ

$dW = F dx$

อย่างไรก็ตาม ถ้าเราสมมุติให้การออกแรงบีบลูกสูบอันนี้ เกิดขึ้นไม่รวดเร็วเกินไป คือเปิดโอกาสให้ความดันในภาชนะ มีการตอบสนองต่อแรงภายนอก และกระจายความดันอย่างสม่ำเสมอทั่วทั้งปริมาตรของแก๊ส ข้อสมมุติฐานซึ่งมองว่าเหตุการณ์เกิดขึ้นอย่างช้าๆเช่นนี้ มีชื่อเรียกโดยทั่วไปว่า "Quasi-static" Quasi หมายถึง เสมือนว่า หรือ คล้ายกับว่า ในขณะที่ static หมายถึง หยุดนิ่ง

ในกรณีเช่นนี้ ความดันภายในจะออกแรงต่อลูกสูบ เพื่อตอบสนองต่อแรงภายนอกที่เข้ามากระทำ หรือ $P A = F$ และเมื่อแทนเข้าไปในสมการข้างต้น จะได้ว่า

ในกรณี qausi-static: $dW = P A dx$

เราสามารถโยงเทอม $A dx$ ในสมการข้างต้น ว่าสัมพันธ์อยู่กับปริมาตรของระบบที่มีการหดเล็กลง นั่นคือ $A dx = -dV$ ให้สังเกตเครื่องหมายลบ ที่จำเป็นต้องมี กล่าวคือ เมื่อระบบมีปริมาตรหดเล็กลง เทอม $dV$ โดยนิยามแล้วก็ย่อมติดลบ และ การ เติม เครื่อง หมาย ลบ เข้าไปข้างหน้าอีกครั้งหนึ่ง จะเป็นการบังคับให้ $- dV$ มีค่าเป็นบวก เมื่อแก๊สโดนบีบให้ปริมาตรเล็กลง

ด้วยเหตุนี้ ทำให้เราสามารถเขียนเป็นสูตร ที่จะมีประโยชน์อย่างมากในการคำนวณ "งาน" ที่กระทำกับระบบ ว่าสัมพันธ์กับความดันและปริมาตรดังต่อไปนี้

งานที่กระทำกับระบบ เมื่อมีการบีบอัด (หรือขยายตัว) แบบ Quasi-static: $dW = - P dV$

ให้สังเกตการเขียนข้อสรุปข้างต้น ว่ามีความระมัดระวังในการใช้ภาษาอยู่มาก เพราะเงื่อนไขประกอบ มีอยู่ 2 ข้อด้วยกัน หนึ่งคือเป็นงานที่เกี่ยวข้องเฉพาะกับการขยายตัวหรือหดตัวของระบบ เช่นการขยายตัวของลูกสูบเครื่องยนต์ในจังหวะที่มีการจุดระเบิด หรือการหดตัวของลูกเทนนิสที่คุณกำลังบีบ อยู่ในมือ

แต่เราต้องเข้าใจว่า ยังมี "งาน" ในรูปแบบอื่นที่สามารถกระทำกับระบบ และส่งผลให้พลังงานของระบบมีค่าสูงขึ้น โดยมิได้เกี่ยวข้องอันใดเลย กับการที่ระบบจะหดเล็กลงหรือโป่งพองขึ้น ยกตัวอย่างเช่น การยกหนังสือ(ซึ่งเดิมวางอยู่บนพื้น)ขึ้นมาไว้บนโต๊ะ นี้ก็ถือว่าเราได้ทำงานกับหนังสือเล่มนั้น ส่งผลให้มันมีพลังงานศักย์โน้มถ่วงเพิ่มขึ้นจากเดิม เพราะตอนนี้มาอยู่บนโต๊ะ หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง การป้อนสนามไฟฟ้าเข้าไปในแท่งโลหะ เพื่อให้อิเล็กตรอนที่อยู่ภายในเคลื่อนที่รวดเร็วมากขึ้น นี้ก็เป็นการ "ทำงาน" เช่นเดียวกัน แต่อาศัยสนามไฟฟ้า และมิได้เกี่ยวข้องอันใดเลย กับการที่ระบบจะมีปริมาตรเพิ่มขึ้นหรือลดลง

ด้วยเหตุนี้ ทุกครั้งที่เรานำสมการ $dW = - P dV$ มาประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์ จำต้องตระหนักเสมอว่า มันครอบคลุมเฉพาะ กับงานที่เกี่ยวข้องกับการบีบอัดหรือขยายตัวของระบบเท่านั้น ซึ่งหากมีกระบวนการอื่นที่เกี่ยวข้อง ก็จะต้องนำมาพิจารณาร่วมด้วย

เงื่อนไขอันที่สอง ก็คือการบีบอัดหรือขยายตัวออก จะต้องไม่เกิดขึ้นเร็วเกินไป หรือที่เรียกว่า Quasi-static ประเด็นที่จะต้องขยายความต่อไปอีกก็คือ คำว่า "เร็วเกินไป" ใช้อะไร? เป็นเกณฑ์ในการตัดสิน

พิจารณาภาพข้างต้น ซึ่งเป็นแบบจำลองของแก๊ส ในลักษณะ Slow Motion ทำให้มองเห็นการเคลื่อนที่ของอนุภาคด้วยตาเปล่า ได้ชัดเจนยิ่งขึ้น นี้เป็นตัวอย่างของกระบวนการ Quasi-static ซึ่งเกิดขึ้นค่อนข้างช้า กล่าวคือ ในขณะที่มีการบีบให้ปริมาตรเล็กลงด้วยแรงภายนอก แก๊สที่อยู่ภายใน มีเวลาเพียงพอในการจัดเรียงและกระจายตัวตอบสนองต่อแรงภายนอก ทำให้ความดันและอุณหภูมิมีค่าเท่ากัน ตลอดทั่วทั้งภาชนะ

แต่ถ้าการบีบอัดเกิดขึ้น "เร็วเกินไป" จะส่งผลให้มีคลื่นกระแทกเกิดขึ้น และในขณะที่แนวคลื่นกำลังทะลักเข้าไปด้านในภาชนะอยู่นั้น ความดันและอุณหภูมิจะกระจายตัว ไม่ สม่ำเสมอ หากจะอธิบายความหมายของคำว่า "เร็วเกินไป" ให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้คุณสังเกตคลื่นที่เกิดขึ้นภายในภาชนะ มันเคลื่อนที่ด้วยความเร็วค่าหนึ่ง เมื่อทบทวนวิชาฟิสิกส์พื้นฐานจะพบว่า คลื่นซึ่งเคลื่อนที่ในตัวกลางเช่นแก๊ส ก็คือ "คลื่นเสียง" เพราะฉะนั้น หากเรากระแทกให้ลูกสูบหดตัวลง เร็วมากกว่า ความเร็วเสียงในอากาศ นี้ย่อมถือว่า "เร็วเกินไป" และไม่จัดอยู่ในประเภท Quasi-static

การหดหรือขยายตัวของลูกสูบในรถยนต์ที่คุณนั่ง แม้จะดูด้วยตาเปล่าถือว่าเร็วมาก โดยเฉพาะเครื่องยนต์ที่รอบจัด อย่าง BMW หรือ Benz แต่เมื่อเทียบกับความเร็วเสียงในอากาศ ซึ่งอยู่ราว 300 m/s นั้นยังถือว่าช้ามาก เพราะฉะนั้น สิ่งที่เกิดขึ้นในลูกสูบรถยนต์ ยังคงถือว่าเป็น Quasi-static เพราะอย่างไรเสีย ความเร็วของลิ้นลูกสูบ ก็ยังช้ากว่าความเร็วเสียง

---

ตัวอย่างโจทย์

อากาศ ณ ความดันบรรยากาศ บรรจุในแท็งก์ขนาดใหญ่มาก หากต้องการทำให้ปริมาตรหดเล็กลงสัก 1 ลิตรอย่างช้าๆ จำเป็นต้อง ทำงาน กี่จูล ?

วิธีทำ

เนื่องจากเดิมแก๊สมีปริมาตรมหาศาล แม้เราทำให้เล็กลงอีกเพียง 1 ลิตร เราจะทำการประมาณว่า ความดันภายในถังยังคงมีค่าคงที่ นั่นคือ $P = 101,000 \, \text{Pascal}$ (แม้ในทางทฤษฎีแล้วความดันจะต้องเพิ่มขึ้นเล็กน้อย) โจทย์กำหนดให้ปริมาตรเล็กลง 1 ลิตร นั่นหมายถึง $dV = - 0.001 \, m^3$ ให้สังเกตเครื่องหมายลบ ที่ปรากฎอยู่ เนื่องจากเป็นการ "หดเล็กลงของปริมาตร"

ทำการแทนค่า $dV$ และ $P$ ในสูตรของการคำนวณหางาน ที่จะต้องทำกับระบบของแก๊ส

$dW = - PdV = - \left( {101000} \right) \times \left( {- 0.001} \right) = 101\,J$

นั่นคือ เรา (ในฐานะสิ่งแวดล้อมภายนอก) จะต้องทำงานกับระบบ เท่ากับ +101 จูล ตอบ

---

---

ตัวอย่างโจทย์

กระบอกสูบ พื้นที่หน้าตัด 10 ตารางเซนติเมตร มีอากาศอยู่ 0.2 mol อยู่ในภาวะสมดุลกับ ความดันบรรยากาศภายนอก ถ้าถ่ายเทความร้อนเข้าไปช้าๆ แก๊สมีอุณหภูมิสูงขึ้น ในขณะเดียวกันกับที่ขยายตัวออก สมมุติพอมันพองตัวออกได้เป็นระยะทาง 10 cm ปรากฎว่ามีความร้อนเข้าไปแล้ว 20 จูล ในขณะนั้น อุณหภูมิจะเพิ่มจากเดิมเท่าใด ?

วิธีทำ

ภาพรวมของโจทย์ข้อนี้ เราจะต้องอาศัยกฎข้อ 1 ของเทอร์โมไดนามิกส์ ทำการคำนวณพลังงานภายในของแก๊ส $dU$ ที่เพิ่มขึ้น จากนั้นโยงมาถึงอุณหภูมิที่เพิ่มขึ้น โดยอาศัยความสัมพันธ์

$U = \frac{3}{2}nRT$ หรือ $dU = \frac{3}{2}nRdT$

--------- (E.1)

เริ่มด้วยกฎข้อ 1 ของเทอร์โมไดนามิกส์ ที่ว่า

$dU = dQ + dW$

--------- (E.2)

ซึ่งโจทย์กำหนดให้ $dQ = 20 \, \text{J}$ คงเหลือเพียงการคำนวณ $dW$ อันเป็นประเด็นในการฝึกทำโจทย์ของข้อนี้ เนื่องจากลูกสูบสามารถขยายตัวได้ ดังนั้นมันจะขยายตัวออก เพื่อรักษาสมดุลให้ความดันภายใน มีค่าเท่ากับความดันภายนอก หรือความดันบรรยากาศเสมอ เพราะฉะนั้นในสถาะการณ์เช่นนี้ ความดันของระบบคงที่ ณ $P = 101000 \, \text{Pascal}$

และเมื่อมีการขยายตัวออก $dV =$ พื้นที่หน้าตัด คูณ ระยะ 10 cm $= 10 \, cm^2 \times 10 \, cm = 100 \, cm^3$ หรือ

$dV = +10^{-4} \, m^3$

ให้สังเกตเครื่องหมายบวก เนื่องจากในกรณีนี้ ปริมาตรมีการขยายตัวออก และเราสามารถคำนวณ งานที่กระทำกับระบบได้ว่า

$dW = - PdV = - \left( {101000} \right) \times \left( {0.0001} \right) = - 10.1\,J$

ซึ่งเมื่อนำเอา $dW$ ย้อนกลับไปแทนในสมการ (E.2) เพื่อคำนวณหาพลังงานที่เพิ่มขึ้นของแก๊ส จะได้ว่า

$dU = dQ + dW = 20 - 10.1 = 9.9 \, \text{J}$

จากนั้น อาศัยสมการ (E.1) เพื่อโยงความสัมพันธ์ไปยังอุณหภูมิที่เพิ่มขึ้น

$\displaylines{ dU = \frac{3}{2}nRdT \cr 9.9 = \frac{3}{2}\left( {0.2} \right)\left( {8.31} \right)dT \cr 3.97 K = dT \cr}$

กล่าวคือ อุณหภูมิของแก๊ส จะเพิ่มขึ้น 3.97 เคลวิน ตอบ

---

---

โจทย์ Hardcore

ที่มาของการคำนวณงานที่กระทำกับระบบ $dW = P A dx$ ในข้างต้นนั้น เกิดจากข้อสมมุติที่ว่า การเคลื่อนที่ของลิ้นลูกสูบเกิดขึ้นอย่างช้าๆ แทบจะหมายถึงแรงลัพธ์ ที่กระทำกับมันเป็นศูนย์ นั่นคือ แรง $F$ จากภายนอก สมดุลกับแรง $P A$ อันเนื่องมาจากความดันภายใน หรือ $F = P A$ จึงส่งผลให้ $dW = F dx = P A dx$ นี้ย่อมขัดอย่างสิ้นเชิงในความเป็นจริงของลูกสูบในเครื่องยนต์ ที่ลิ้นลูกสูบเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง และมีความเร็วสูง กล่าวคือ แรงลัพธ์ที่กระทำกับลิ้นลูกสูบย่อมไม่เป็นศูนย์ หรือ $F \ne P A$ (เพราะหากแรงลัพธ์เป็นศูนย์ ลิ้นลูกสูบคงหยุดนิ่งอยู่ และไม่อาจเคลื่อนที่เข้ามาตั้งแต่แรก)

จงแสดงให้เห็นว่า แม้ $F \ne P A$ งานที่กระทำกับแก๊ส ก็ยังคงเป็น $dW = P A dx$ อยู่เช่นเดิม

วิธีทำ

สมมุติว่าแรงภายนอก มีค่าสูงกว่าแรงจากความดันภายในของลูกสูบ หรือ $F \gt PA$ ส่งผลให้มีแรงลัพธ์กระทำกับลูกสูบ เร่งมันให้เคลื่อนที่เข้ามาภายใน อย่างรวดเร็ว หากพิจารณาในแง่ของงานและพลังงานแล้ว งานที่แรง F กระทำ ย่อม มีผลสองประการ 1 ) คือ เพิ่มพลังงานจลน์ลิ้นลูกสูบ หรือ Piston และ 2) ที่เหลือ โดนผันไปเป็นงาน ที่กระทำกับแก๊ส กล่าวคือ

งานที่แรง F กระทำ = เพิ่มพลังงานจลน์ของ Piston + งานที่กระทำกับแก๊ส

--------- (E.1)

ข้างซ้ายของสมการ (E.1) งานที่แรง $F$ กระทำย่อมมีค่าเท่ากับ $F dx$ ในขณะที่ข้างขวาของสมการ (E.1) ประกอบด้วยสองเทอม ซึ่งเราจะพิจารณาพลังงานจลน์ ที่เพิ่มขึ้น ของ Piston เสียก่อน

ในตอนแรก ลูกสูบมีความเร็ว $v$ ดังนั้นมันมีพลังงานจลน์ $\frac{1}{2} m v^2$ ครั้นเมื่อเวลาผ่านไป $dt$ ลูกสูบเคลื่อนที่ได้ระยะ $dx$ และมีความเร็วเพิ่มขึ้น $dv$ ทำให้มีพลังงานจลน์ $\frac{1}{2} m ( v + dv ) ^2$ นั่นหมายถึงพลังงานจลน์ที่เพิ่มขึ้นก็คือ

$\Delta \text{KE}_\text{piston} = \frac{1}{2} m (v + dv ) ^2 - \frac{1}{2} m v ^2 = \frac{1}{2} m ( 2 v dv + dv^2 ) = m v dv + \frac{1}{2} m dv^2$

สังเกตว่า ภายในช่วงเวลาสั้นๆ $dt$ นี้แรงมีค่าคงที่ เพราะฉะนั้นความเร่งภายในช่วงเวลานี้เท่ากับ $a =\frac{ F_\text{net} }{m} = \frac{F - PA}{m}$ ส่งผลให้ความเร็วที่เพิ่มขึ้น $dv = a dt = \frac{F - PA}{m} dt$ ดังนั้น

$\Delta \text{KE}_\text{piston} = m v \frac{F - PA}{m} dt + \frac{1}{2} m ( \frac{F - PA}{m} ) ^2 dt ^2 = (F - PA) ( v dt + \frac{1}{2} \frac{F - PA}{m} dt ^2 )$

นอกจากนี้ ในสภาวะที่ความเร่งคงที่ ระยะกระจัด $dx = \frac{1}{2} a dt ^2 + v dt = v dt + \frac{1}{2} \frac{F - PA}{m} dt ^2$ ซึ่งก็คือเทอมในวงเล็บที่สอง(ขวาสุด)ของสมการข้างต้นพอดี เพราะฉะนั้น พลังงานจลน์ที่เพิ่มขึ้น

$\Delta \text{KE}_\text{piston} = (F - PA) dx = ( F dx - P A dx )$

เมื่อแทนผลลัพธ์ข้างต้น กลับเข้าเทอมแรก ในด้านขวามือของสมการ (E.1) จะได้ทำให้

$\require{cancel} \cancel{ F dx } = ( \cancel{ F dx } - P A dx ) +$ งานที่กระทำกับแก๊ส

สมการข้างต้นแสดงให้เห็นว่า แม้ลูกสูบจะพุ่งเข้ามาค่อนข้างเร็วและแรง (ไม่เร็วสุดโต่งมากจนเทียบเท่าความเร็วเสียง) งานที่กระทำกับแก๊ส ก็ยังคงอยู่ในรูป $PA dx$ หรือ อีกนัยหนึ่ง $dW = - P dV$ ตอบ

---

Keyword: งานที่ใช้บีบอัด หรือ ขยายตัวของแก๊ส , W = -pdV

อ้างอิง

• [1] กฎข้อหนึ่งของเทอร์โมไดนามิกส์ https://teepanis.blogspot.com/p/blog-page.html